Mostre que o conjunto Q dos números racionais é denso em R.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto Q dos números racionais é denso em R. Isso significa que, dados quaisquer reais a e b com a<b, existe sempre um racional qinQ tal que
a < q < b
Vamos usar a propriedade arquimediana de R para construir esse racional.

Passo 2

Sejam a,binR com a<b. Definimos a diferença positiva
d = b - a > 0
Pela propriedade arquimediana, existe um inteiro positivo n tal que
1n < d

Passo 3

Multiplicando a por n, temos na. Seja k o menor inteiro que seja maior que na. Em notação,
k = lceil na rceil,
ou seja,
na < k e k-1 <= na

Passo 4

Dividindo todas as partes da desigualdade na < k por n>0, obtemos
a < kn
Por outro lado, como tfrac1n<d, temos
kn <= na+1n = a + 1n < a + d = b
Logo
a < kn < b

Passo 5

Concluímos que q = kn é um número racional que satisfaz a<q<b. Como a e b eram quaisquer reais com a<b, isso mostra que há sempre um racional no intervalo (a,b).

Resposta

O conjunto Q é denso em R, pois entre quaisquer a<b em R existe sempre o racional tfrackn com a<tfrackn<b.

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