Mostre que o conjunto
dos números racionais é denso em
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto
dos números racionais é denso em
. Isso significa que, dados quaisquer reais
e
com
, existe sempre um racional
tal que
Vamos usar a propriedade arquimediana de
para construir esse racional.
Passo 2
Sejam
com
. Definimos a diferença positiva
Pela propriedade arquimediana, existe um inteiro positivo
tal que
Passo 3
Multiplicando
por
, temos
. Seja
o menor inteiro que seja maior que
. Em notação,
ou seja,
Passo 4
Dividindo todas as partes da desigualdade
por
, obtemos
Por outro lado, como
, temos
Logo
Passo 5
Concluímos que
é um número racional que satisfaz
. Como
e
eram quaisquer reais com
, isso mostra que há sempre um racional no intervalo
.
Resposta
O conjunto
é denso em
, pois entre quaisquer
em
existe sempre o racional
com
.