Resolva pelo método matricial (dos autovalores e autovetores). Descreva o comportamento das soluções quando
. Verifique se a solução
é ponto de equilíbrio estável ou instável, verificando se é sela, nó, foco (espiral) ou centro. Faça um esboço da família das soluções:
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema linear
que pode ser escrito como
com
Vamos usar o método de autovalores e autovetores para encontrar a solução geral, depois analisar o comportamento quando
, classificar o ponto de equilíbrio
(estável ou instável, selo/nó/foco/centro) e esboçar as trajetórias.
Passo 2
Calculamos o polinômio característico
.
As raízes são as soluções de
, ou seja
Passo 3
Para
resolvemos
:
dá
.
Para resolvemos
:
Para
dá
.
Passo 4
A solução geral do sistema é combinação linear das modais exponenciais:
Passo 5
Para
o termo com
domina, exceto se
. Logo, em geral
, mas se estiver exatamente na direção de
(isto é,
) então
. Como há um autovalor positivo (
) e outro negativo (
), o equilíbrio
é instável e do tipo sela: existe uma reta estável (direção de
) e uma reta instável (direção de
).
Passo 6
Esboço qualitativo: as trajetórias formam um campo de fluxo com duas retas especiais:
a) na reta gerada por elas vêm de fora e tendem a
quando
(variação
);
b) na reta gerada por elas saem de
e divergem exponencialmente (
);
as demais curvas entram perto de alinhadas em direção a
e depois são “lançadas” para fora na direção aproximada de
.
a) na reta gerada por
b) na reta gerada por
as demais curvas entram perto de
Resposta
A solução geral é
Como há um autovalor positivo e outro negativo, o ponto
é um ponto de sela instável. Quando
a maior parte das soluções divergem seguindo a reta instável (autovetor de
), exceto aquelas que começam exatamente na reta estável (autovetor de
), que tendem a
.