Resolva pelo método matricial (dos autovalores e autovetores). Descreva o comportamento das soluções quando t longrightarrow+infty. Verifique se a solução x(t)=(x1(t), x2(t))=(0,0) é ponto de equilíbrio estável ou instável, verificando se é sela, nó, foco (espiral) ou centro. Faça um esboço da família das soluções:
l x1^prime=3 x1-2 x2 x2^prime=2 x1-2 x2

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
x1'=3x1-2x2, x2'=2x1-2x2,
que pode ser escrito como vec x' = Avec x com
A = 3 & -22 & -2
Vamos usar o método de autovalores e autovetores para encontrar a solução geral, depois analisar o comportamento quando tto+infty, classificar o ponto de equilíbrio vec0 (estável ou instável, selo/nó/foco/centro) e esboçar as trajetórias.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico det(A-lambda I)=0.
detl(A-lambda Ir) =det3-lambda & -22 & -2-lambda =(3-lambda)(-2-lambda)-(-2)cdot2 =lambda^2-lambda-2
As raízes são as soluções de lambda^2-lambda-2=0, ou seja
lambda1=1+32=2, lambda2=1-32=-1

Passo 3

Para lambda1=2 resolvemos (A-2I)v=0:
3-2 & -22 & -2-2v =1 & -22 & -4v=0
v1=(2,1).
Para lambda2=-1 resolvemos (A+I)v=0:
3+1 & -22 & -2+1v =4 & -22 & -1v=0
v2=(1,2).

Passo 4

A solução geral do sistema é combinação linear das modais exponenciais:
vec x(t) = C1,v1,e^lambda1t+C2,v2,e^lambda2t = C121e^2t + C212e^-t

Passo 5

Para tto+infty o termo com e^2t domina, exceto se C1=0. Logo, em geral |vec x(t)|to+infty, mas se estiver exatamente na direção de v2 (isto é, C1=0) então vec x(t)tovec0. Como há um autovalor positivo ( 2) e outro negativo ( -1), o equilíbrio vec0 é instável e do tipo sela: existe uma reta estável (direção de v2) e uma reta instável (direção de v1).

Passo 6

Esboço qualitativo: as trajetórias formam um campo de fluxo com duas retas especiais:
a) na reta gerada por (1,2) elas vêm de fora e tendem a vec0 quando tto+infty (variação e^-t);
b) na reta gerada por (2,1) elas saem de vec0 e divergem exponencialmente ( e^2t);
as demais curvas entram perto de vec0 alinhadas em direção a (1,2) e depois são “lançadas” para fora na direção aproximada de (2,1).

Resposta

A solução geral é
vec x(t) = C121e^2t + C212e^-t
Como há um autovalor positivo e outro negativo, o ponto vec0 é um ponto de sela instável. Quando tto+infty a maior parte das soluções divergem seguindo a reta instável (autovetor de lambda=2), exceto aquelas que começam exatamente na reta estável (autovetor de lambda=-1), que tendem a vec0.

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