Partindo dos axiomas de corpo (vide notas de aula e Apostol Vol. 1), demonstre os seguintes teoremas, com a, b e c elementos do corpo:
-(-a)=a

Passo 1

Vamos provar que em qualquer corpo, com as operações de adição e elemento neutro 0, vale a propriedade de dupla negação
-(-a)=a
Usaremos os axiomas de corpo relativos à adição: existência do neutro aditivo 0, existência de inverso aditivo (denotado por -x) e as propriedades de associatividade e comutatividade da adição.

Passo 2

Pela definição de inverso aditivo, -a é o elemento que satisfaz
a + (-a) = 0

Passo 3

Agora definimos x = -(-a). Novamente pela definição de inverso aditivo, x satisfaz
(-a) + x = 0

Passo 4

Adicionando a à igualdade ( -a ) + x = 0 e usando associatividade e comutatividade, obtemos
a + l((-a) + xr) = a + 0 Longrightarrow l(a + (-a)r) + x = a Longrightarrow 0 + x = a

Passo 5

Pelo axioma do neutro aditivo, 0 + x = x. Logo da última igualdade segue
x = a
Como definimos x = -(-a), concluímos
-(-a) = a

Resposta

-(-a)=a

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