Partindo dos axiomas de corpo (vide notas de aula e Apostol Vol. 1), demonstre os seguintes teoremas, com
e
elementos do corpo:
Passo 1
Vamos provar que em qualquer corpo, com as operações de adição e elemento neutro
, vale a propriedade de dupla negação
Usaremos os axiomas de corpo relativos à adição: existência do neutro aditivo
, existência de inverso aditivo (denotado por
) e as propriedades de associatividade e comutatividade da adição.
Passo 2
Pela definição de inverso aditivo,
é o elemento que satisfaz
Passo 3
Agora definimos
. Novamente pela definição de inverso aditivo,
satisfaz
Passo 4
Adicionando
à igualdade
e usando associatividade e comutatividade, obtemos
Passo 5
Pelo axioma do neutro aditivo,
. Logo da última igualdade segue
Como definimos
, concluímos