8 Sejam
uma transformação linear injetiva e
lineares. Prove que: se
, então
.
Passo 1
O enunciado está em Álgebra Linear e fala sobre transformações lineares
injetiva e
.
Ele pede para provar que, se
Ele pede para provar que, se
então necessariamente
.
Vamos usar a definição de injetividade (núcleo trivial) e propriedades de composição.
Vamos usar a definição de injetividade (núcleo trivial) e propriedades de composição.
Passo 2
Como
, temos para todo
:
Logo
Passo 3
Como
é injetiva, seu núcleo é trivial:
Da igualdade
segue
isto é,
para todo
.
Passo 4
Como os dois operadores concidem em cada vetor de
, concluímos
Resposta
Portanto, sob a hipótese
e com
injetiva, segue
.