8 Sejam T: E F uma transformação linear injetiva e S1, S2: F E lineares. Prove que: se T circ S1=T circ S2, então S1=S2.

Passo 1

O enunciado está em Álgebra Linear e fala sobre transformações lineares
;Tcolon EtoF injetiva e
;S1,S2colon FtoE.
Ele pede para provar que, se
Tcirc S1 ;=; Tcirc S2,
então necessariamente
;S1=S2.
Vamos usar a definição de injetividade (núcleo trivial) e propriedades de composição.

Passo 2

Como Tcirc S1=Tcirc S2, temos para todo yinF:
Tl(S1(y)r);=;Tl(S2(y)r)
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Tl(S1(y)-S2(y)r) ;=; Tl(S1(y)r);-;Tl(S2(y)r) ;=;0

Passo 3

Como T é injetiva, seu núcleo é trivial:
ker T = ,xinEmid T(x)=0 = 0
Da igualdade
Tl(S1(y)-S2(y)r)=0
segue
S1(y)-S2(y)=0,
isto é,
S1(y)=S2(y),
para todo yinF.

Passo 4

Como os dois operadores concidem em cada vetor de F, concluímos
S1=S2

Resposta

Portanto, sob a hipótese Tcirc S1=Tcirc S2 e com T injetiva, segue S1=S2.

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