Mostre que o conjunto a seguir é subespaço vetorial de M_{2}(\mathbb{R}).
W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll}
x & y \\
z & t
\end{array}\right) \in M_{2}(\mathbb{R}) \right\rvert\, y=-x\right\}
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
W = \left\{\begin{pmatrix}x & y\\\ z & t\end{pmatrix}\in M_{2}(\mathbb{R}) \mid y = -x\right\}
é subespaço de M_{2}(\mathbb{R}).
Lembrando que, para verificar se um subconjunto de um espaço vetorial é subespaço, basta mostrar que ele não é vazio e que é fechado sob combinações lineares (ou, equivalentemente, fechado sob soma e multiplicação por escalar).
Passo 2
Mostramos que W não é vazio exibindo o vetor zero.
O elemento zero de M_{2}(\mathbb{R}) é
0 = \begin{pmatrix}0 & 0\\\\ 0 & 0\end{pmatrix}.
Aqui y=0 e x=0, então y=-x vale. Logo 0\in W, ou seja, W\neq\emptyset.
Passo 3
Mostramos que W é fechado sob combinações lineares.
Sejam
A = \begin{pmatrix}x_{1} & y_{1}\\\ z_{1} & t_{1}\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}x_{2} & y_{2}\\\ z_{2} & t_{2}\end{pmatrix}
em W, com y_{1}=-x_{1} e y_{2}=-x_{2}, e sejam \alpha,\beta\in\mathbb{R}. Então