Mostre que o conjunto a seguir é subespaço vetorial de M_{2}(\mathbb{R}).
W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll} x & y \\ z & t \end{array}\right) \in M_{2}(\mathbb{R}) \right\rvert\, y=-x\right\}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
W = \left\{\begin{pmatrix}x & y\\\ z & t\end{pmatrix}\in M_{2}(\mathbb{R}) \mid y = -x\right\}
é subespaço de M_{2}(\mathbb{R}).
Lembrando que, para verificar se um subconjunto de um espaço vetorial é subespaço, basta mostrar que ele não é vazio e que é fechado sob combinações lineares (ou, equivalentemente, fechado sob soma e multiplicação por escalar).

Passo 2

Mostramos que W não é vazio exibindo o vetor zero.
O elemento zero de M_{2}(\mathbb{R}) é
0 = \begin{pmatrix}0 & 0\\\\ 0 & 0\end{pmatrix}.
Aqui y=0 e x=0, então y=-x vale. Logo 0\in W, ou seja, W\neq\emptyset.

Passo 3

Mostramos que W é fechado sob combinações lineares.
Sejam
A = \begin{pmatrix}x_{1} & y_{1}\\\ z_{1} & t_{1}\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}x_{2} & y_{2}\\\ z_{2} & t_{2}\end{pmatrix}
em W, com y_{1}=-x_{1} e y_{2}=-x_{2}, e sejam \alpha,\beta\in\mathbb{R}. Então
\alpha A + \beta B = \begin{pmatrix} \alpha x_{1} + \beta x_{2} & \alpha y_{1} + \beta y_{2}\\\ \alpha z_{1} + \beta z_{2} & \alpha t_{1} + \beta t_{2} \end{pmatrix}.
Como y_{i}=-x_{i}, temos
\alpha y_{1} + \beta y_{2} = -\bigl(\alpha x_{1} + \beta x_{2}\bigr),
logo \alpha A + \beta B satisfaz a condição y = -x e pertence a W. Assim, W é fechado sob soma e multiplicação por escalar.

Resposta

O conjunto W é subespaço vetorial de M_{2}(\mathbb{R}).

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