Questão 20 Se
são matrizes quadradas de ordem
tais que
, então mostre que
é inversível onde
.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são matrizes quadradas de ordem
tais que
Queremos mostrar que
é invertível e, consequentemente, que
coincide com a inversa de
.
Conteúdo: propriedades de determinante e definição de matriz inversa.
Conteúdo: propriedades de determinante e definição de matriz inversa.
Passo 2
Aplicamos a propriedade de multiplicatividade do determinante a
. Como
e sabemos que
segue que
Passo 3
Da igualdade
concluímos que
. Mas uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante é não nulo. Logo,
é invertível.
Passo 4
Para identificar a inversa de
, basta multiplicar
pela esquerda por
, que agora existe:
Resposta
Mostramos que
, logo
é invertível, e a matriz
que satisfaz
é justamente a inversa de
, ou seja,