Questão 20 Se A, B são matrizes quadradas de ordem n tais que A B=I_{n}, então mostre que A é inversível onde B=A^{-1}.

Passo 1

O enunciado diz que A e B são matrizes quadradas de ordem n tais que
A\,B = I_{n}.
Queremos mostrar que A é invertível e, consequentemente, que B coincide com a inversa de A.
Conteúdo: propriedades de determinante e definição de matriz inversa.

Passo 2

Aplicamos a propriedade de multiplicatividade do determinante a A B. Como
\det(A B) = \det(A)\,\det(B)
e sabemos que
A B = I_{n}\quad\Longrightarrow\quad\det(A B)=\det(I_{n})=1,
segue que
\det(A)\,\det(B)=1.

Passo 3

Da igualdade \det(A)\,\det(B)=1 concluímos que \det(A)\neq0. Mas uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante é não nulo. Logo, A é invertível.

Passo 4

Para identificar a inversa de A, basta multiplicar A B = I_{n} pela esquerda por A^{-1}, que agora existe:
A^{-1}(A B)=A^{-1}I_{n} \quad\Longrightarrow\quad (A^{-1}A)\,B = A^{-1} \quad\Longrightarrow\quad I_{n}\,B = A^{-1} \quad\Longrightarrow\quad B = A^{-1}.

Resposta

Mostramos que \det(A)\neq0, logo A é invertível, e a matriz B que satisfaz A B=I_{n} é justamente a inversa de A, ou seja,
B = A^{-1}.

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