Mostre que o conjunto de todos os pares de números reais da forma (
) com as operações
e
é um espaço vetorial.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
com as operações de soma e multiplicação escalar dadas por
e
Para mostrar que
é um espaço vetorial sobre
, basta verificar que
é um grupo abeliano e que a multiplicação escalar satisfaz as propriedades de fechamento, distributividade, compatibilidade e existência de elemento neutro escalar.
Passo 2
Verificamos que
é um grupo abeliano:
Fechamento: dados temos
.
Comutatividade:
Fechamento: dados
Comutatividade:
Associatividade: segue de
Elemento neutro:
satisfaz
.
Inverso aditivo: para cada o inverso é
pois
.
Inverso aditivo: para cada
Passo 3
Agora as propriedades da multiplicação escalar sobre
:
Fechamento: para e
vale
Fechamento: para
Distributividade sobre soma de vetores:
Distributividade sobre soma de escalares:
Compatibilidade com produto de escalares:
Elemento neutro escalar:
Resposta
O conjunto
com as operações dadas satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre
, logo é um espaço vetorial.