Mostre que o conjunto de todos os pares de números reais da forma ( 1, x ) com as operações \left(1, y_{1}\right)+\left(1, y_{2}\right)=\left(1, y_{1}+y_{2}\right) e k(1, y)=(1, k y) é um espaço vetorial.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
V = \{(1,x)\mid x\in\mathbb{R}\}
com as operações de soma e multiplicação escalar dadas por
(1,y_{1}) + (1,y_{2}) = (1,\,y_{1}+y_{2})
e
k\,(1,y) = (1,\,k\,y).
Para mostrar que V é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}, basta verificar que (V,+) é um grupo abeliano e que a multiplicação escalar satisfaz as propriedades de fechamento, distributividade, compatibilidade e existência de elemento neutro escalar.

Passo 2

Verificamos que (V,+) é um grupo abeliano:
Fechamento: dados (1,x_{1}),(1,x_{2})\in V temos (1,x_{1})+(1,x_{2})=(1,x_{1}+x_{2})\in V.
Comutatividade:
(1,x_{1})+(1,x_{2})=(1,x_{1}+x_{2})=(1,x_{2}+x_{1})=(1,x_{2})+(1,x_{1}).
Associatividade: segue de
\bigl((1,x_{1})+(1,x_{2})\bigr)+(1,x_{3}) =(1,(x_{1}+x_{2})+x_{3}) =(1,x_{1}+(x_{2}+x_{3})) =(1,x_{1})+\bigl((1,x_{2})+(1,x_{3})\bigr).
Elemento neutro: (1,0) satisfaz (1,x)+(1,0)=(1,x+0)=(1,x).
Inverso aditivo: para cada (1,x) o inverso é (1,-x) pois (1,x)+(1,-x)=(1,x-x)=(1,0).

Passo 3

Agora as propriedades da multiplicação escalar sobre \mathbb{R}:
Fechamento: para k\in\mathbb{R} e (1,x)\in V vale
k\,(1,x)=(1,kx)\in V.
Distributividade sobre soma de vetores:
k\bigl((1,y_{1})+(1,y_{2})\bigr) = k(1,y_{1}+y_{2}) = (1,k(y_{1}+y_{2})) = (1,ky_{1}+ky_{2}) = k(1,y_{1}) + k(1,y_{2}).
Distributividade sobre soma de escalares:
(k_{1}+k_{2})(1,y) = (1,(k_{1}+k_{2})\,y) = (1,k_{1}y + k_{2}y) = k_{1}(1,y) + k_{2}(1,y).
Compatibilidade com produto de escalares:
(k_{1}k_{2})(1,y) = (1,k_{1}k_{2}\,y) = k_{1}\bigl(1,k_{2}y\bigr) = k_{1}\bigl(k_{2}(1,y)\bigr).
Elemento neutro escalar:
1\cdot(1,y) = (1,1\cdot y) = (1,y).

Resposta

O conjunto V com as operações dadas satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre \mathbb{R}, logo é um espaço vetorial.

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