Encontre a expressão de uma função f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} que seja uma reflexão em torno da reta x=y. Tal função é linear?

Passo 1

O enunciado pede uma reflexão f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 em torno da reta x=y. Isso significa que cada ponto (x,y) deve ser “espelhado” em relação à reta que forma um ângulo de \pi/4 com o eixo x. Vamos usar a fórmula geral de reflexão em uma reta que passa pela origem.

Passo 2

Uma reta que passa pela origem e faz ângulo \alpha com o eixo x tem matriz de reflexão
M = \begin{pmatrix} \cos(2\alpha) & \sin(2\alpha)\\[6pt] \sin(2\alpha) & -\cos(2\alpha) \end{pmatrix}.
No nosso caso, \alpha = \pi/4, então 2\alpha = \pi/2, \cos(\pi/2)=0 e \sin(\pi/2)=1. Portanto
M = \begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ 1 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Para um vetor genérico (x,y) temos
f(x,y) = M \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}y\x\end{pmatrix}.
Logo a expressão da reflexão é
f(x,y) = (\,y,\,x\,).

Passo 4

Como f(x,y)=M(x,y) com M constante, f satisfaz
f(u+v)=M(u+v)=Mu+Mv=f(u)+f(v), \quad f(c\,u)=c\,M u=c\,f(u).
Isso prova que f é uma transformação linear.

Resposta

A reflexão em torno da reta x=y é
f(x,y) = (y,\,x),
e sim, essa função é linear, com matriz
\begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 & 0\end{pmatrix}.

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