Encontre a expressão de uma função f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} que seja uma reflexão em torno da reta x=y. Tal função é linear?
Passo 1
O enunciado pede uma reflexão f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 em torno da reta x=y. Isso significa que cada ponto (x,y) deve ser “espelhado” em relação à reta que forma um ângulo de \pi/4 com o eixo x. Vamos usar a fórmula geral de reflexão em uma reta que passa pela origem.
Passo 2
Uma reta que passa pela origem e faz ângulo \alpha com o eixo x tem matriz de reflexão
M = \begin{pmatrix} \cos(2\alpha) & \sin(2\alpha)\\[6pt] \sin(2\alpha) & -\cos(2\alpha) \end{pmatrix}.
No nosso caso, \alpha = \pi/4, então 2\alpha = \pi/2, \cos(\pi/2)=0 e \sin(\pi/2)=1. Portanto
M = \begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ 1 & 0 \end{pmatrix}.]