Sejam \left(\mathbb{R}^{+}, \oplus, \odot\right) e (\mathbb{R},+, \cdot) dois espaços vetoriais, onde:
u \oplus v=u v, \quad \lambda \odot u=u^{\lambda} \quad \forall u, v \in \mathbb{R}^{+}, \forall \lambda \in \mathbb{R}
e a soma + e produto por um escalar \cdot são os usuais em \mathbb{R}. Determine se as funções:
T: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}, onde T(x)=\ln (x),

Passo 1

O enunciado apresenta dois espaços vetoriais:
V=(\mathbb{R}^{+},\oplus,\odot), em que a “soma” é
u\oplus v = uv
e o “produto por escalar” é
\lambda\odot u = u^{\lambda}
para u,v\in\mathbb{R}^{+} e \lambda\in\mathbb{R}.
W=(\mathbb{R},+,\,\cdot) é o espaço vetorial usual sobre \mathbb{R}.
A aplicação é
T\colon \mathbb{R}^{+}\to\mathbb{R},\qquad T(x)=\ln(x).
Precisamos verificar se T preserva soma e produto por escalar conforme a definição de transformação linear.

Passo 2

Verificação da aditividade: mostrar que
T(u\oplus v)=T(u)+T(v)\quad\forall u,v\in\mathbb{R}^{+}.
De fato,
T(u\oplus v)=T(uv)=\ln(uv)=\ln(u)+\ln(v)=T(u)+T(v).
Logo, T é aditiva em (V,\oplus).

Passo 3

Verificação da homogeneidade: mostrar que
T(\lambda\odot u)=\lambda\,T(u)\quad\forall u\in\mathbb{R}^{+},\;\forall \lambda\in\mathbb{R}.
De fato,
T(\lambda\odot u)=T\bigl(u^{\lambda}\bigr)=\ln\bigl(u^{\lambda}\bigr) =\lambda\,\ln(u)=\lambda\,T(u).
Portanto, T respeita o produto por escalar de V.

Resposta

A função T(x)=\ln(x) é uma transformação linear de \bigl(\mathbb{R}^+,\oplus,\odot\bigr) em (\mathbb{R},+,\cdot).

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