Considere a transformação T: P_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R} dada por T(p(x))=\int_{0}^{1} p(x) d x. Encontre a matriz da transformação T em relação às bases canônicas de P_{2}(\mathbb{R}) e \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T: P_{2}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R} definida por
T(p(x))=\int_{0}^{1} p(x)\,dx.
As bases canônicas são:
  • para P_{2}(\mathbb{R}): \{1,\; x,\; x^{2}\};
  • para \mathbb{R}: \{1\}.
A pergunta é: encontrar a matriz de T relativa a essas bases canônicas (isto é, a matriz que representa T quando os vetores do domínio são escritos na base \{1,x,x^2\} e os vetores do contradomínio na base \{1\}).

Passo 2

Como construir a matriz de uma transformação linear em relação a bases:
  • Cada coluna da matriz é a coordenada da imagem de um vetor da base do domínio, expressa na base do contradomínio.
  • Aqui o contradomínio é \mathbb{R} com base \{1\}, portanto a coordenada de um número real y nessa base é simplesmente y (o escalar).
  • Assim a matriz de T será uma matriz de tamanho 1\times 3 cujas entradas são \bigl(T(1),\; T(x),\; T(x^{2})\bigr),onde cada T(\cdot) é o número real obtido pela integral correspondente.

Passo 3

Calcular T(1).
Usamos a integral definida
T(1)=\int_{0}^{1} 1\,dx.
A primitiva de 1 é x. Avaliando nos limites:
\int_{0}^{1} 1\,dx = \bigl[x\bigr]_{0}^{1} = 1-0 = 1.
Logo T(1)=1.

Passo 4

Calcular T(x).
Usamos a fórmula para potência: a primitiva de x é x^{2}/2 (em geral \int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) para n\neq-1). Assim
T(x)=\int_{0}^{1} x\,dx = \left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = \frac{1^{2}}{2}-0 = \frac{1}{2}.
Logo T(x)=\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Calcular T(x^{2}).
Aplicando a mesma regra ( n=2):
T(x^{2})=\int_{0}^{1} x^{2}\,dx = \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1^{3}}{3}-0 = \frac{1}{3}.
Logo T(x^{2})=\tfrac{1}{3}.

Passo 6

Montar a matriz usando as imagens dos vetores da base do domínio como colunas (cada coluna é um número real, coordenada na base \{1\} do contradomínio). Assim a matriz de T relativa às bases canônicas é a matriz 1\times3
\begin{pmatrix} 1 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{3} \end{pmatrix}.
Pequena verificação (opcional): se p(x)=a+bx+cx^{2} tem coordenadas \begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix} na base \{1,x,x^{2}\}, a multiplicação pela matriz dá
\begin{pmatrix} 1 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\\ b\\\ c \end{pmatrix} = a + \tfrac{b}{2} + \tfrac{c}{3},
que é exatamente \int_{0}^{1} (a+bx+cx^{2})\,dx. Então está consistente.

Resposta

\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{3} \end{pmatrix}

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