Considere a transformação T: P_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R} dada por T(p(x))=\int_{0}^{1} p(x) d x. Encontre a matriz da transformação T em relação às bases canônicas de P_{2}(\mathbb{R}) e \mathbb{R}.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear T: P_{2}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R} definida por
T(p(x))=\int_{0}^{1} p(x)\,dx.
As bases canônicas são:
para P_{2}(\mathbb{R}): \{1,\; x,\; x^{2}\};
para \mathbb{R}: \{1\}.
A pergunta é: encontrar a matriz de T relativa a essas bases canônicas (isto é, a matriz que representa T quando os vetores do domínio são escritos na base \{1,x,x^2\} e os vetores do contradomínio na base \{1\}).
Passo 2
Como construir a matriz de uma transformação linear em relação a bases:
Cada coluna da matriz é a coordenada da imagem de um vetor da base do domínio, expressa na base do contradomínio.
Aqui o contradomínio é \mathbb{R} com base \{1\}, portanto a coordenada de um número real y nessa base é simplesmente y (o escalar).
Assim a matriz de T será uma matriz de tamanho 1\times 3 cujas entradas são\bigl(T(1),\; T(x),\; T(x^{2})\bigr),onde cada T(\cdot) é o número real obtido pela integral correspondente.
Montar a matriz usando as imagens dos vetores da base do domínio como colunas (cada coluna é um número real, coordenada na base \{1\} do contradomínio). Assim a matriz de T relativa às bases canônicas é a matriz 1\times3
Pequena verificação (opcional): se p(x)=a+bx+cx^{2} tem coordenadas \begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix} na base \{1,x,x^{2}\}, a multiplicação pela matriz dá
\begin{pmatrix} 1 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\\ b\\\ c \end{pmatrix} = a + \tfrac{b}{2} + \tfrac{c}{3},
que é exatamente \int_{0}^{1} (a+bx+cx^{2})\,dx. Então está consistente.