Mostre que o conjunto de vetores B=(1,1,1),(1,2,3),(1,4,9) é uma base de R^3. Escreva cada um dos vetores e1, e2, e3 da base canônica de R^3 como combinação linear dos vetores de B.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
B = v1,v2,v3
com
v1 = (1,1,1), v2 = (1,2,3), v3 = (1,4,9),
e pede para mostrar que B é base de R^3 e escrever os vetores canônicos
,e1=(1,0,0), ,e2=(0,1,0), ,e3=(0,0,1) como combinação linear de v1,v2,v3. Para isso, vamos (i) verificar que v1,v2,v3 são linearmente independentes, e (ii) resolver três sistemas lineares para achar as coordenadas de e1,e2,e3 na base B.

Passo 2

Formamos a matriz A cujas colunas são v1,v2,v3:
A = 1 & 1 & 1 1 & 2 & 4 1 & 3 & 9
Calculamos o determinante:
det(A) = 1cdot(2cdot9 - 4cdot3) -1cdot(1cdot9 - 4cdot1) +1cdot(1cdot3 - 2cdot1) = 1cdot6 -1cdot5 +1cdot1 = 6 - 5 + 1 = 2 neq 0
Como det(A)neq 0, os vetores v1,v2,v3 são LI em R^3. Sendo três vetores LI em um espaço de dimensão 3, eles formam base de R^3.

Passo 3

Para escrever
isto é, o sistema
Subtraindo a primeira equação da segunda e da terceira, obtemos
Da segunda vem , daí . Finalmente
Logo

Passo 4

Para
Subtraindo a primeira da segunda e da terceira:
Da segunda , então . E
Assim

Passo 5

Para
Subtraindo a primeira da segunda e da terceira:
Da primeira , logo . E
Portanto

Resposta

O conjunto B é base de R^3 e
e1 = 3,v1 - tfrac52,v2 + tfrac12,v3, e2 = -3,v1 + 4,v2 - 1,v3, e3 = 1,v1 - tfrac32,v2 + tfrac12,v3

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