Sejam F1=(x, y, z, t) in R^4: x+y=0, z-t=0 e F2=(x, y, z, t) in R^4: x-y-z+t=0 subespaços de R^4.
Determine F1+F2 e sua dimensão.

Passo 1

O enunciado define dois subespaços de R^4:
F1=(x,y,z,t)inR^4mid x+y=0, z-t=0, F2=(x,y,z,t)inR^4mid x-y-z+t=0
Pede-se o subespaço soma F1+F2 e sua dimensão. Vamos parametrizar cada um para achar bases e depois combinar.

Passo 2

Parametrização de F1. Das equações
x+y=0implies y=-x, z-t=0implies t=z,
segue que todo vetor de F1 é
(x,y,z,t)=(a,,-a,;b,;b) = a,(1,-1,0,0) + b,(0,0,1,1)
Portanto uma base de F1 é
u1=(1,-1,0,0),;u2=(0,0,1,1)
e dim F1=2.

Passo 3

Parametrização de F2. Da equação
x-y-z+t=0implies x=y+z-t,
um vetor genérico é
(x,y,z,t)=(y+z-t,;y,;z,;t) = y,(1,1,0,0) + z,(1,0,1,0) + t,(-1,0,0,1)
Logo uma base de F2 é
v1=(1,1,0,0),;v2=(1,0,1,0),;v3=(-1,0,0,1)
e dim F2=3.

Passo 4

Para F1+F2 tomamos o gerador u1,u2,v1,v2,v3. Note que
  • De u1=(1,-1,0,0) e v1=(1,1,0,0) obtemos (1,0,0,0) e (0,1,0,0).
  • De v2=(1,0,1,0) menos (1,0,0,0) extraímos (0,0,1,0).
  • De u2=(0,0,1,1) menos (0,0,1,0) extraímos (0,0,0,1).
    Assim conseguimos os vetores padrão e1,e2,e3,e4, logo o gerador é todo R^4.

Resposta

F1+F2=R^4
dim(F1+F2)=4

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