Mostre que as matrizes A, B e C abaixo são L.I.:
A=(ll 1 & 0 0 & 0 ), B=(ll 1 & 0 0 & 1 ), C=(ll 1 & 1 1 & 1 )

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Álgebra Linear onde precisamos mostrar que as matrizes A , B e C são linearmente independentes (L.I.). Para isso, vamos usar o conceito de combinação linear e verificar se a única solução para a combinação dessas matrizes ser igual à matriz zero é quando todos os coeficientes são zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa matrizes serem linearmente independentes. Em Álgebra Linear, um conjunto de vetores (ou matrizes) é dito ser linearmente independente se a única forma de combiná-los linearmente para obter o vetor (ou matriz) zero é usando coeficientes iguais a zero. Ou seja, se k1A + k2B + k3C = 0 só tem a solução k1 = k2 = k3 = 0 , então A , B e C são L.I.

Passo 3

Vamos montar a equação de combinação linear das matrizes A , B e C :
k1 cdot A + k2 cdot B + k3 cdot C = 0
Substituindo as matrizes dadas:
k1 1 & 0 0 & 0 + k2 1 & 0 0 & 1 + k3 1 & 1 1 & 1 = 0 & 0 0 & 0

Passo 4

Vamos somar as matrizes multiplicadas pelos coeficientes:
k1 + k2 + k3 & k3 k3 & k2 + k3 = 0 & 0 0 & 0
Isso nos dá um sistema de equações:
k1 + k2 + k3 = 0 k3 = 0 k3 = 0 k2 + k3 = 0

Passo 5

Resolvendo o sistema:
  1. Da segunda equação, já sabemos que k3 = 0 .
  2. Substituindo k3 = 0 na quarta equação, temos k2 + 0 = 0 , então k2 = 0 .
  3. Substituindo k2 = 0 e k3 = 0 na primeira equação, temos k1 + 0 + 0 = 0 , ou seja, k1 = 0 .

Resposta

Como a única solução para k1A + k2B + k3C = 0 é k1 = k2 = k3 = 0 , as matrizes A , B e C são linearmente independentes.

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