Mostre que os polinômios abaixo são L.I.:
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que os polinômios
são linearmente independentes no espaço
. Para isso, usaremos a definição de independência linear: se
para todos os
, então devemos mostrar que
.
Passo 2
Escrevemos a combinação linear igual ao polinômio zero e expandimos:
Ao desenvolver, obtemos um polinômio em
cujos coeficientes devem ser nulos:
Passo 3
Agrupando termos segundo as potências de
, temos
Passo 4
Igualamos a zero cada coeficiente:
- Coeficiente de
:
Passo 5
- Coeficiente de
:
Passo 6
- Coeficiente de
:
pois já vimos que
.
Resposta
Concluímos que a única combinação linear que zera
é
. Portanto,
,
e
são linearmente independentes.