Mostre que os polinômios abaixo são L.I.:
p(x)=x^3-5 x^2+1, q(x)=2 x^4+5 x-6, r(x)=x^2-5 x+2

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que os polinômios
p(x)=x^3-5x^2+1, q(x)=2x^4+5x-6, r(x)=x^2-5x+2
são linearmente independentes no espaço R[x] . Para isso, usaremos a definição de independência linear: se
alpha,p(x)+beta,q(x)+gamma,r(x)=0
para todos os x, então devemos mostrar que alpha=beta=gamma=0.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear igual ao polinômio zero e expandimos:
alphal(x^3-5x^2+1r) +betal(2x^4+5x-6r) +gammal(x^2-5x+2r) =0
Ao desenvolver, obtemos um polinômio em x cujos coeficientes devem ser nulos:

Passo 3

Agrupando termos segundo as potências de x, temos
2beta,x^4 +alpha,x^3 +(-5alpha+gamma),x^2 +(5beta-5gamma),x +(alpha-6beta+2gamma) =0

Passo 4

Igualamos a zero cada coeficiente:
- Coeficiente de x^4:
2beta=0 Longrightarrow beta=0

Passo 5

- Coeficiente de x^3:
alpha=0

Passo 6

- Coeficiente de x^2:
-5alpha+gamma=0 Longrightarrow gamma=0,
pois já vimos que alpha=0.

Resposta

Concluímos que a única combinação linear que zera p,q,r é alpha=beta=gamma=0. Portanto, p(x), q(x) e r(x) são linearmente independentes.

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