Mostre que o conjunto, S=i, j, k, dos vetores unitários canônicos é um conjunto ortogonal em R^3.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que o conjunto S = i, j, k , formado pelos vetores unitários canônicos, é um conjunto ortogonal em R^3 .
Para isso, precisamos entender o que significa um conjunto ser ortogonal. Na matemática, um conjunto de vetores é considerado ortogonal se o produto interno entre quaisquer dois vetores distintos desse conjunto for zero. Isso significa que os vetores são perpendiculares entre si.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são os vetores unitários canônicos em R^3 :
i = 1 0 0 , j = 0 1 0 , k = 0 0 1
Esses vetores têm comprimento 1 e cada um está alinhado com um dos eixos coordenados.

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto interno (ou produto escalar) entre cada par de vetores distintos do conjunto S . O produto interno de dois vetores u e v em R^3 é dado por:
u cdot v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3

Passo 4

Vamos calcular i cdot j :
i cdot j = (1)(0) + (0)(1) + (0)(0) = 0 + 0 + 0 = 0

Passo 5

Em seguida, vamos calcular i cdot k :
i cdot k = (1)(0) + (0)(0) + (0)(1) = 0 + 0 + 0 = 0

Passo 6

Agora, calculamos j cdot k :
j cdot k = (0)(0) + (1)(0) + (0)(1) = 0 + 0 + 0 = 0

Passo 7

Como vimos, o produto interno entre quaisquer dois vetores distintos do conjunto S é igual a zero. Isso confirma que cada par de vetores é perpendicular.

Resposta

Portanto, o conjunto S = i, j, k é um conjunto ortogonal em R^3 .

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