Mostre que o conjunto, , dos vetores unitários canônicos é um conjunto ortogonal em .
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que o conjunto , formado pelos vetores unitários canônicos, é um conjunto ortogonal em .
Para isso, precisamos entender o que significa um conjunto ser ortogonal. Na matemática, um conjunto de vetores é considerado ortogonal se o produto interno entre quaisquer dois vetores distintos desse conjunto for zero. Isso significa que os vetores são perpendiculares entre si.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são os vetores unitários canônicos em :
Esses vetores têm comprimento 1 e cada um está alinhado com um dos eixos coordenados.
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto interno (ou produto escalar) entre cada par de vetores distintos do conjunto S . O produto interno de dois vetores u e v em R^3 é dado por:
Como vimos, o produto interno entre quaisquer dois vetores distintos do conjunto S é igual a zero. Isso confirma que cada par de vetores é perpendicular.
Resposta
Portanto, o conjunto S = i, j, k é um conjunto ortogonal em R^3 .