Mostre que u=(-2,3,1,4) e v=(1,2,0,-1) são vetores ortogonais em R^4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que os vetores u = (-2, 3, 1, 4) e v = (1, 2, 0, -1) são ortogonais em R^4. Isso está ligado ao conteúdo de álgebra vetorial, mais especificamente ao conceito de ortogonalidade entre vetores. Para resolver, vamos precisar calcular o produto interno (ou produto escalar) desses dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa dois vetores serem ortogonais. Em álgebra vetorial, dois vetores são ortogonais se o produto interno entre eles for igual a zero. O produto interno de dois vetores u = (u1, u2, u3, u4) e v = (v1, v2, v3, v4) em R^4 é calculado assim:
u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3 + u4v4

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fórmula aos vetores dados. Primeiro, identificamos os componentes de cada vetor:
u = (-2, , 3, , 1, , 4) v = (1, , 2, , 0, , -1)

Passo 4

Em seguida, multiplicamos cada componente correspondente dos vetores e somamos os resultados:
u cdot v = (-2)(1) + (3)(2) + (1)(0) + (4)(-1)

Passo 5

Vamos calcular cada termo separadamente:
(-2)(1) = -2 (3)(2) = 6 (1)(0) = 0 (4)(-1) = -4

Passo 6

Agora, somamos todos esses valores:
u cdot v = -2 + 6 + 0 - 4 = 0

Resposta

Como o produto interno u cdot v = 0 , os vetores u e v são ortogonais em R^4.

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