Calcule os autovetores para os autovalores lambda1=2 e lambda2=32 da matriz [cc17 & -15 -15 & 17].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular os autovetores dos autovalores lambda1 = 2 e lambda2 = 32 da matriz
17 & -15 -15 & 17
Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, onde trabalhamos com autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição de autovetor e autovalor, que basicamente dizem que para um autovalor lambda e seu autovetor correspondente v, temos:
A v = lambda v
Vamos usar essa relação para encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor dado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o autovetor correspondente ao autovalor lambda1 = 2.
A equação que vamos resolver é:
A v = lambda1 v
Substituindo os valores:
17 & -15 -15 & 17 x y = 2 x y

Passo 3

Vamos reescrever essa equação para deixar tudo do lado esquerdo:
17 & -15 -15 & 17 x y - 2 x y = 0 0
Isso resulta em:
17 - 2 & -15 -15 & 17 - 2 x y = 0 0
Simplificando:
15 & -15 -15 & 15 x y = 0 0

Passo 4

Agora, temos o seguinte sistema de equações:
  1. 15x - 15y = 0
  2. -15x + 15y = 0
Podemos simplificar a primeira equação dividindo por 15:
x - y = 0 Rightarrow x = y

Passo 5

Isso significa que qualquer vetor onde x = y é um autovetor correspondente a lambda1 = 2. Podemos escolher x = 1, então:
v1 = 1 1
Esse é um dos autovetores para lambda1 = 2.

Passo 6

Agora, vamos encontrar o autovetor correspondente ao autovalor lambda2 = 32.
Usamos a mesma equação:
A v = lambda2 v
Substituindo os valores:
17 & -15 -15 & 17 x y = 32 x y

Passo 7

Reescrevendo a equação para isolar zero:
17 & -15 -15 & 17 x y - 32 x y = 0 0
Isso dá:
17 - 32 & -15 -15 & 17 - 32 x y = 0 0
Simplificando:
-15 & -15 -15 & -15 x y = 0 0

Passo 8

Agora, temos o seguinte sistema de equações:
  1. -15x - 15y = 0
  2. -15x - 15y = 0
Podemos simplificar a primeira equação dividindo por -15:
x + y = 0 Rightarrow y = -x

Passo 9

Isso significa que qualquer vetor onde y = -x é um autovetor correspondente a lambda2 = 32. Podemos escolher x = 1, então:
v2 = 1 -1
Esse é um dos autovetores para lambda2 = 32.

Resposta

Os autovetores da matriz dada são:
  • Para lambda1 = 2:
v1 = 1 1
  • Para lambda2 = 32:
v2 = 1 -1

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