Calcule os autovetores para os autovalores e da matriz .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular os autovetores dos autovaloreslambda1 = 2 e lambda2 = 32 da matriz
17 & -15 -15 & 17
Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, onde trabalhamos com autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição de autovetor e autovalor, que basicamente dizem que para um autovalor lambda e seu autovetor correspondente v, temos:
A v = lambda v
Vamos usar essa relação para encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor dado.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o autovetor correspondente ao autovalorlambda1 = 2.
A equação que vamos resolver é:
A v = lambda1 v
Substituindo os valores:
17 & -15 -15 & 17 x y = 2 x y
Passo 3
Vamos reescrever essa equação para deixar tudo do lado esquerdo:
17 & -15 -15 & 17 x y - 2 x y = 0 0
Isso resulta em:
17 - 2 & -15 -15 & 17 - 2 x y = 0 0
Simplificando:
15 & -15 -15 & 15 x y = 0 0
Passo 4
Agora, temos o seguinte sistema de equações:
15x - 15y = 0
-15x + 15y = 0
Podemos simplificar a primeira equação dividindo por 15:
x - y = 0 Rightarrow x = y
Passo 5
Isso significa que qualquer vetor onde x = y é um autovetor correspondente a lambda1 = 2. Podemos escolher x = 1, então:
v1 = 1 1
Esse é um dos autovetores para lambda1 = 2.
Passo 6
Agora, vamos encontrar o autovetor correspondente ao autovalorlambda2 = 32.
Usamos a mesma equação:
A v = lambda2 v
Substituindo os valores:
17 & -15 -15 & 17 x y = 32 x y
Passo 7
Reescrevendo a equação para isolar zero:
17 & -15 -15 & 17 x y - 32 x y = 0 0
Isso dá:
17 - 32 & -15 -15 & 17 - 32 x y = 0 0
Simplificando:
-15 & -15 -15 & -15 x y = 0 0
Passo 8
Agora, temos o seguinte sistema de equações:
-15x - 15y = 0
-15x - 15y = 0
Podemos simplificar a primeira equação dividindo por -15:
x + y = 0 Rightarrow y = -x
Passo 9
Isso significa que qualquer vetor onde y = -x é um autovetor correspondente a lambda2 = 32. Podemos escolher x = 1, então: