Mostre que o conjunto
é um subespaço de
, e determine uma base e sua dimensão.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é subespaço de
(o espaço das polinômios de grau
), e depois encontrar uma base de
e sua dimensão. Vamos usar definições de subespaço (não-vazio, fechado para soma e multiplicação por escalar) e depois caracterizar os polinômios que satisfazem
.
Passo 2
Verificação de subespaço:
. O polinômio zero
está em
pois
.
. Se
, então
logo
.
. Se
e
é escalar,
logo
.
Assim é subespaço de
.
Assim
Passo 3
Caracterização de
: seja
A condição
dá
Logo
Isto mostra que
Passo 4
Verificamos que
é linearmente independente:
Portanto é uma base de
. Como há
vetores nessa base,
Resposta
Uma base de
é
e
.