Mostre que o conjunto W=f in P2 mid f(1)=f(0) é um subespaço de P2, e determine uma base e sua dimensão.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
W = ,fin P2 mid f(1)=f(0)
é subespaço de P2 (o espaço das polinômios de grau <=2), e depois encontrar uma base de W e sua dimensão. Vamos usar definições de subespaço (não-vazio, fechado para soma e multiplicação por escalar) e depois caracterizar os polinômios que satisfazem f(1)=f(0).

Passo 2

Verificação de subespaço:
1. O polinômio zero f(x)=0 está em W pois f(1)=0=f(0).
2. Se f,gin W, então
(f+g)(1)=f(1)+g(1)=f(0)+g(0)=(f+g)(0),
logo f+gin W.
3. Se fin W e lambda é escalar,
(lambda f)(1)=lambda f(1)=lambda f(0)=(lambda f)(0),
logo lambda fin W.
Assim W é subespaço de P2.

Passo 3

Caracterização de W: seja
f(x)=a x^2 + b x + cin P2
A condição f(1)=f(0)
acdot1^2 + bcdot1 + c = c Longrightarrow a + b = 0 Longrightarrow b = -a
Logo
f(x)=a x^2 - a x + c = a,(x^2 - x) + c,(1)
Isto mostra que
W = span,x^2 - x,;1

Passo 4

Verificamos que ,x^2 - x,;1 é linearmente independente:
alpha,(x^2 - x) + beta,(1) = 0 ;forall x Longrightarrow alpha=0, beta=0
Portanto é uma base de W. Como há 2 vetores nessa base,
dim W = 2

Resposta

Uma base de W é ,x^2 - x,;1 e dim W = 2.

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