Seja
a transformação linear definida por
Determine uma base para o núcleo e para a imagem de
, e suas dimensões.
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
e pede base e dimensão do núcleo (
) e da imagem (
). Vamos usar resolução de sistema homogêneo para o núcleo e gerar a imagem aplicando
aos vetores da base canônica de
.
Passo 2
Para encontrar
Dessas equações vem , logo todo vetor do núcleo é da forma
Passo 3
Portanto
uma reta de dimensão 1. Uma base natural é
logo
.
Passo 4
Para a imagem, aplicamos
à base canônica
:
Assim
Passo 5
Note que
, então basta
como base de
. Como esses dois vetores em
são independentes,
.
Resposta
Base de
:
, dimensão
.
Base de :
, dimensão
.
Base de