Seja T: R^3 R^2 a transformação linear definida por
T(x, y, z)=(x-y, y-z)
Determine uma base para o núcleo e para a imagem de T, e suas dimensões.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon R^3toR^2, T(x,y,z)=(x-y,;y-z),
e pede base e dimensão do núcleo ( ker T) e da imagem ( Im,T). Vamos usar resolução de sistema homogêneo para o núcleo e gerar a imagem aplicando T aos vetores da base canônica de R^3.

Passo 2

Para encontrar
Dessas equações vem , logo todo vetor do núcleo é da forma

Passo 3

Portanto
ker T=t,(1,1,1)mid tinR,
uma reta de dimensão 1. Uma base natural é
(1,1,1),
logo dim(ker T)=1.

Passo 4

Para a imagem, aplicamos T à base canônica e1,e2,e3:
T(e1)=T(1,0,0)=(1,0), T(e2)=T(0,1,0)=(-1,1), T(e3)=T(0,0,1)=(0,-1)
Assim
Im,T=span(1,0),,(-1,1),,(0,-1)

Passo 5

Note que (0,-1)=-,(1,0)-(-1,1), então basta
(1,0),,(-1,1)
como base de Im,T. Como esses dois vetores em R^2 são independentes,
dim(Im,T)=2.

Resposta

Base de ker T: (1,1,1), dimensão 1.
Base de Im,T: (1,0),,(-1,1), dimensão 2.

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