Mostre que é
é uma união de conjuntos fechados.
Passo 1
A questão pede para mostrar que o intervalo aberto
pode ser escrito como união de conjuntos fechados. O conteúdo é topologia elementar na reta real, trabalhando com definições de conjuntos fechados e união de coleções de conjuntos.
Passo 2
A ideia é construir uma sequência de subconjuntos fechados que “se aproximam” de
e de
. Definimos para cada
o conjunto
Cada
Passo 3
Primeiro mostramos que
De fato, se
Passo 4
Agora mostramos a inclusão inversa
Seja
Com isso temos
e
, ou seja
. Logo
.
Passo 5
Como provamos as duas inclusões, concluímos que
ou seja,
Resposta
(0,1)=\displaystyle\bigcup_{n=2}^{\infty}\left[\tfrac1n,,1-\tfrac1n\right], que mostra que (0,1) é união de conjuntos fechados.