Mostre que é (0,1) é uma união de conjuntos fechados.

Passo 1

A questão pede para mostrar que o intervalo aberto (0,1) pode ser escrito como união de conjuntos fechados. O conteúdo é topologia elementar na reta real, trabalhando com definições de conjuntos fechados e união de coleções de conjuntos.

Passo 2

A ideia é construir uma sequência de subconjuntos fechados que “se aproximam” de 0 e de 1. Definimos para cada n>=2 o conjunto
Fn = l[tfrac1n,,1-tfrac1nr]
Cada Fn é fechado em R porque é intervalo fechado e contém seus pontos-limite.

Passo 3

Primeiro mostramos que
cupn=2^inftyFn subset (0,1)
De fato, se xincupn=2^infty Fn então existe algum n com xin Fn, ou seja tfrac1n<= x<=1-tfrac1n. Daí x>0 e x<1, logo xin(0,1).

Passo 4

Agora mostramos a inclusão inversa
(0,1) subset cupn=2^inftyFn
Seja xin(0,1). Então 0. Basta escolher um Nin N tal que
N>maxltfrac1x,tfrac11-xr
Com isso temos 1/N e x<1-1/N, ou seja xin FN. Logo xincupn=2^infty Fn.

Passo 5

Como provamos as duas inclusões, concluímos que
(0,1)=cupn=2^inftyl[tfrac1n,1-tfrac1nr],
ou seja, (0,1) é de fato uma união de conjuntos fechados.

Resposta

(0,1)=\displaystyle\bigcup_{n=2}^{\infty}\left[\tfrac1n,,1-\tfrac1n\right], que mostra que (0,1) é união de conjuntos fechados.

Exercícios relacionados