Mostre que o intervalo aberto (0,1) é um conjunto aberto. Mostre com cálculos

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o intervalo aberto (0,1) é um conjunto aberto. Isso está relacionado à matéria de Topologia Básica ou Análise Real, que estuda propriedades dos conjuntos em espaços como os números reais. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser aberto e como demonstrar isso usando definições e cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto aberto. Em termos simples, um conjunto é aberto se, para cada ponto dentro dele, conseguimos encontrar uma “vizinhança” ao redor desse ponto que também está completamente dentro do conjunto. Uma vizinhança pode ser pensada como um pequeno intervalo ao redor do ponto.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso ao intervalo (0,1). Pegue qualquer ponto x dentro de (0,1). Nosso objetivo é encontrar um número positivo epsilon tal que o intervalo (x - epsilon, x + epsilon) esteja completamente dentro de (0,1).

Passo 4

Para garantir que (x - epsilon, x + epsilon) subseteq (0,1), precisamos que:
  • x - epsilon > 0
  • x + epsilon < 1
Vamos resolver essas duas desigualdades para encontrar epsilon.

Passo 5

Da primeira desigualdade:
x - epsilon > 0 implies epsilon < x
Da segunda desigualdade:
x + epsilon < 1 implies epsilon < 1 - x

Passo 6

Para que ambas as condições sejam verdadeiras, epsilon deve ser menor que o mínimo entre x e 1 - x. Ou seja:
epsilon < minx, 1 - x

Passo 7

Assim, podemos escolher:
epsilon = 12 minx, 1 - x
Essa escolha garante que epsilon é positivo e satisfaz ambas as condições acima.

Passo 8

Com essa escolha de epsilon, temos que para qualquer x in (0,1), o intervalo (x - epsilon, x + epsilon) está totalmente contido em (0,1). Portanto, cada ponto em (0,1) tem uma vizinhança que também está dentro de (0,1).

Resposta

Concluímos que o intervalo aberto (0,1) é, de fato, um conjunto aberto, já que para qualquer ponto dentro dele, conseguimos encontrar uma vizinhança que também pertence a (0,1).

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