Mostre que o intervalo fechado
é um conjunto fechado.
Passo 1
O exercício pede para mostrarmos que o intervalo fechado
é um conjunto fechado. Vamos usar conceitos de análise real, especificamente de topologia dos números reais. Para resolver isso, precisamos entender o que significa um conjunto ser fechado e como aplicar essa definição ao intervalo
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um conjunto fechado. Em análise real, um conjunto é considerado fechado se ele contém todos os seus pontos de limite. Ou seja, se uma sequência de pontos dentro do conjunto converge para um ponto, esse ponto limite também deve estar no conjunto.
Passo 3
Agora, vamos verificar se o intervalo
satisfaz essa condição. Vamos considerar uma sequência qualquer
dentro de
que converge para um ponto
. Precisamos mostrar que
também está em
.
Passo 4
Sabemos que todos os termos da sequência
estão entre 0 e 1, ou seja,
para todo
. Pelo teorema do limite, se a sequência converge para
, então:
Isso mostra que
está dentro do intervalo
.
Passo 5
Como qualquer sequência convergente em
tem seu limite também dentro de
, concluímos que o intervalo
contém todos os seus pontos de limite.
Resposta
Portanto, o intervalo fechado
é um conjunto fechado.