Mostre que o intervalo fechado [0,1] é um conjunto fechado.

Passo 1

O exercício pede para mostrarmos que o intervalo fechado [0,1] é um conjunto fechado. Vamos usar conceitos de análise real, especificamente de topologia dos números reais. Para resolver isso, precisamos entender o que significa um conjunto ser fechado e como aplicar essa definição ao intervalo [0,1].

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um conjunto fechado. Em análise real, um conjunto é considerado fechado se ele contém todos os seus pontos de limite. Ou seja, se uma sequência de pontos dentro do conjunto converge para um ponto, esse ponto limite também deve estar no conjunto.

Passo 3

Agora, vamos verificar se o intervalo [0,1] satisfaz essa condição. Vamos considerar uma sequência qualquer (xn) dentro de [0,1] que converge para um ponto x. Precisamos mostrar que x também está em [0,1].

Passo 4

Sabemos que todos os termos da sequência (xn) estão entre 0 e 1, ou seja, 0 <= xn <= 1 para todo n. Pelo teorema do limite, se a sequência converge para x, então:
0 <= limn to infty xn = x <= 1
Isso mostra que x está dentro do intervalo [0,1].

Passo 5

Como qualquer sequência convergente em [0,1] tem seu limite também dentro de [0,1], concluímos que o intervalo [0,1] contém todos os seus pontos de limite.

Resposta

Portanto, o intervalo fechado [0,1] é um conjunto fechado.

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