Mostre que os conjuntos
e
são base de
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que os conjuntos
e
são base de .
Conteúdo necessário: definição de base (independência linear e geração) e fato de que .
são base de
Conteúdo necessário: definição de base (independência linear e geração) e fato de que
Passo 2
Verificamos que cada conjunto tem exatamente três polinômios e que
.
Assim, basta mostrar que cada conjunto é formado por três vetores linearmente independentes, pois nesse caso eles geram todo e são bases.
Assim, basta mostrar que cada conjunto é formado por três vetores linearmente independentes, pois nesse caso eles geram todo
Passo 3
Para
, consideremos a combinação linear nula
isto é,
Como o polinômio identicamente zero tem todos os coeficientes nulos, obtemos o sistema
Da primeira equação
. Da segunda vem
. E da terceira,
.
Logo, só a combinação trivial anula, e os três polinômios são linearmente independentes.
Logo, só a combinação trivial anula, e os três polinômios são linearmente independentes.
Passo 4
Concluímos que
é um conjunto de três vetores linearmente independentes em um espaço de dimensão 3. Portanto, é base de
.
Passo 5
Para
, façamos combinação linear nula
ou seja,
Igualando coeficientes:
Da primeira e da terceira vêm
e
. Então da segunda
.
Só há solução trivial, logo os três são linearmente independentes.
Só há solução trivial, logo os três são linearmente independentes.
Resposta
Ambos os conjuntos são bases de
.