Mostre que os conjuntos t^2+t, t, 1 e t^2+t, t, t+1 são base de V=P2(K).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os conjuntos
,t^2+t,;t,;1 e ,t^2+t,;t,;t+1
são base de V = P2(K).
Conteúdo necessário: definição de base (independência linear e geração) e fato de que dim P2(K)=3.

Passo 2

Verificamos que cada conjunto tem exatamente três polinômios e que dim P2(K)=3.
Assim, basta mostrar que cada conjunto é formado por três vetores linearmente independentes, pois nesse caso eles geram todo P2(K) e são bases.

Passo 3

Para ,t^2+t,;t,;1, consideremos a combinação linear nula
alpha,(t^2+t);+;beta,t;+;gammacdot1 ;=;0
isto é,
alpha,t^2 ;+;(alpha+beta),t ;+;gamma ;=;0
Como o polinômio identicamente zero tem todos os coeficientes nulos, obtemos o sistema
alpha = 0, alpha+beta = 0, gamma = 0
Da primeira equação alpha=0. Da segunda vem beta=0. E da terceira, gamma=0.
Logo, só a combinação trivial anula, e os três polinômios são linearmente independentes.

Passo 4

Concluímos que ,t^2+t,;t,;1 é um conjunto de três vetores linearmente independentes em um espaço de dimensão 3. Portanto, é base de P2(K).

Passo 5

Para ,t^2+t,;t,;t+1, façamos combinação linear nula
lambda,(t^2+t);+;mu,t;+;nu,(t+1);=;0,
ou seja,
lambda,t^2;+;(lambda+mu+nu),t;+;nu;=;0
Igualando coeficientes:
lambda = 0, lambda+mu+nu = 0, nu = 0
Da primeira e da terceira vêm lambda=0 e nu=0. Então da segunda mu=0.
Só há solução trivial, logo os três são linearmente independentes.

Resposta

Ambos os conjuntos são bases de P2(K).

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