Seja A uma matriz
com
. Seja
e suponha que
.
(a) O que você pode concluir sobre os vetores colunas de
? Eles são linearmente independentes? Eles geram
? Explique.
(a) O que você pode concluir sobre os vetores colunas de
Passo 1
O enunciado apresenta uma matriz
de tamanho
com
, um vetor
e a condição de que o núcleo de
é
O conteúdo aqui é teoria de espaço coluna, independência linear via núcleo e a relação rank–nulidade.
Passo 2
Como
, o sistema homogêneo
só admite a solução trivial
. Pela definição de independência linear, isso significa que não existe combinação linear não trivial das colunas de
que dê o vetor zero. Logo, as colunas são linearmente independentes.
Passo 3
Temos apenas
vetores coluna em
com
. Um conjunto de menos vetores que a dimensão do espaço não consegue gerar todo o espaço: para gerar
seria preciso pelo menos
vetores.
Passo 4
Pelo Teorema da Dimensão (rank–nulidade) vale
Como
, segue
. Logo o espaço coluna de
tem dimensão
, confirmando que ele é um subespaço próprio de
.
Resposta
As colunas de
são linearmente independentes, mas não geram
, pois formam um espaço de dimensão
.