Seja A uma matriz m times n com m>n. Seja b in R^m e suponha que N(A)=0.
(a) O que você pode concluir sobre os vetores colunas de A ? Eles são linearmente independentes? Eles geram R^m ? Explique.

Passo 1

O enunciado apresenta uma matriz A de tamanho mtimes n com m>n, um vetor binR^m e a condição de que o núcleo de A é
N(A)=0
O conteúdo aqui é teoria de espaço coluna, independência linear via núcleo e a relação rank–nulidade.

Passo 2

Como N(A)=0, o sistema homogêneo A x=0 só admite a solução trivial x=0. Pela definição de independência linear, isso significa que não existe combinação linear não trivial das colunas de A que dê o vetor zero. Logo, as colunas são linearmente independentes.

Passo 3

Temos apenas n vetores coluna em R^m com n<m. Um conjunto de menos vetores que a dimensão do espaço não consegue gerar todo o espaço: para gerar R^m seria preciso pelo menos m vetores.

Passo 4

Pelo Teorema da Dimensão (rank–nulidade) vale
rank(A)+nullity(A)=n
Como nullity(A)=0, segue rank(A)=n. Logo o espaço coluna de A tem dimensão n<m, confirmando que ele é um subespaço próprio de R^m.

Resposta

As colunas de A são linearmente independentes, mas não geram R^m, pois formam um espaço de dimensão n<m.

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