7 Seja W:=(x, y, z) in R^3: x-y+2 z=0 subseteq R^3.
(a) Mostre que W é um subespaço de R^3;
(b) Encontre um subespaço V de R^3 tal que V oplus W=R^3;
(c) Dê exemplos de dois subespaços V, W subseteq R^3, de dimensão 2, tais que V+W=R^3. A soma é direta?

Passo 1

O enunciado define o conjunto
W = (x,y,z)inR^3: x - y + 2z = 0
e pede:
(a) mostrar que W é subespaço de R^3;
(b) encontrar um subespaço V de modo que Voplus W = R^3;
(c) dar dois subespaços de dimensão 2 em R^3 cuja soma seja R^3 e verificar se a soma é direta.
O conteúdo envolve definição de subespaço, base, dimensão e soma direta.

Passo 2

Para (a), usamos que um subconjunto definido por uma equação linear homogênea é subespaço. Primeiro, o vetor 0=(0,0,0) satisfaz
0 - 0 + 2cdot 0 = 0,
logo 0in W. Seja agora u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2) em W, então
x1 - y1 + 2z1 = 0 e x2 - y2 + 2z2 = 0
Para qualquer escalar lambda, temos
l(lambda x1r) - l(lambda y1r) + 2l(lambda z1r) = lambdal(x1 - y1 + 2z1r)=lambdacdot 0 = 0,
então lambda uin W. Além disso,
(x1+x2) - (y1+y2) + 2(z1+z2) = (x1 - y1 + 2z1)+(x2 - y2 + 2z2)=0+0=0,
logo u+vin W. Assim, W é subespaço de R^3.

Passo 3

Ainda para (a) e como preparação para (b), encontramos uma base de . Da equação obtemos
Portanto
Logo

Passo 4

Para (b), precisamos de um subespaço de dimensão 1 tal que e . Basta escolher um vetor fora de , por exemplo
De fato, pois . Defina
Como e , a soma direta tem dimensão , logo

Passo 5

Para (c), usamos dois planos de dimensão 2 em cuja soma seja todo o espaço, mas cuja interseção não seja apenas . Por exemplo,
Dado , escrevemos
logo . Porém
então a soma não é direta.

Resposta

(a) é subespaço pois contém , é fechado em soma e escalar.
(b) Pode-se tomar , e então .
(c) Exemplos:
,
,
têm soma mas não formam soma direta.

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