7 Seja
.
(a) Mostre que
é um subespaço de
;
(b) Encontre um subespaço
de
tal que
;
(c) Dê exemplos de dois subespaços
, de dimensão 2, tais que
. A soma é direta?
(a) Mostre que
(b) Encontre um subespaço
(c) Dê exemplos de dois subespaços
Passo 1
O enunciado define o conjunto
e pede:
(a) mostrar que é subespaço de
;
(b) encontrar um subespaço de modo que
;
(c) dar dois subespaços de dimensão 2 em cuja soma seja
e verificar se a soma é direta.
O conteúdo envolve definição de subespaço, base, dimensão e soma direta.
(a) mostrar que
(b) encontrar um subespaço
(c) dar dois subespaços de dimensão 2 em
O conteúdo envolve definição de subespaço, base, dimensão e soma direta.
Passo 2
Para (a), usamos que um subconjunto definido por uma equação linear homogênea é subespaço. Primeiro, o vetor
satisfaz
logo
. Seja agora
e
em
, então
Para qualquer escalar
, temos
então
. Além disso,
logo
. Assim,
é subespaço de
.
Passo 3
Ainda para (a) e como preparação para (b), encontramos uma base de
. Da equação
obtemos
Portanto
Logo
Passo 4
Para (b), precisamos de um subespaço
de dimensão 1 tal que
e
. Basta escolher um vetor fora de
, por exemplo
De fato,
pois
. Defina
Como
e
, a soma direta tem dimensão
, logo
Passo 5
Para (c), usamos dois planos de dimensão 2 em
cuja soma seja todo o espaço, mas cuja interseção não seja apenas
. Por exemplo,
Dado
, escrevemos
logo
. Porém
então a soma não é direta.
Resposta
(a)
é subespaço pois contém
, é fechado em soma e escalar.
(b) Pode-se tomar , e então .
(c) Exemplos:
,
,
têm soma mas não formam soma direta.
(b) Pode-se tomar , e então
(c) Exemplos:
,
,
têm soma