Seja W=(ccx & x 0 & 0) in M2 / x in K. Mostre que W é um subespaço de V=M2 e ache a base de W.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V = M2(K) e o subconjunto
W = l,x & x0 & 0mid xin Kr.
Vamos mostrar que W é subespaço de V usando a definição: verificar que a matriz zero está em W, que W é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar. Em seguida, encontraremos uma base de W.

Passo 2

Verificamos que a matriz nula de M2(K) pertence a W. Para x=0, a matriz é
0 & 0 0 & 0
Essa matriz está em W pois é da forma pedida com x=0.

Passo 3

Fechamento sob adição. Seja
A = x1 & x10 & 0 e
B = x2 & x20 & 0 em W.
Então
A + B ;=; x1 + x2 & x1 + x2 0 & 0
e essa soma está em W com o parâmetro x = x1 + x2in K.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação por escalar. Seja lambdain K e
A = x & x0 & 0in W.
Então
lambda A ;=; lambda x & lambda x 0 & 0
e esse resultado está em W com o parâmetro x' = lambda xin K.
Com isso W satisfaz as condições de subespaço de V.

Passo 5

Para achar uma base, observe que todo elemento de W é da forma
x 1 & 1 0 & 0 ,
ou seja, W = spanE com
E = 1 & 1 0 & 0
Como Eneq 0, o conjunto E é linearmente independente e gera W.

Resposta

W é subespaço de M2(K). Uma base de W é
1 & 1 0 & 0

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