1-) Mostre que a constante de proporcionalidade em entre a radiância espectral
e a sua densidade de energia
é
. Um radiador de cavidade a 6000 K tem um orifício de 0.10 mm de diâmetro feito em sua parede. Ache a potência irradiada através do orifício no intervalo de comprimentos de onda entre
e
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas. Primeiro, mostrar que, para radiação isotrópica em equilíbrio térmico, a radiância espectral por frequência
e a densidade de energia espectral
estão ligadas por
Em segundo lugar, calcular a potência que escapa por um orifício de diâmetro
num corpo negro a
no intervalo de comprimentos de onda de
a
.
Passo 2
Vamos derivar
.
- Num cavidade em equilíbrio, a intensidade específica (radiância por direção)
é isotrópica e está relacionada à energia volumétrica por
Como é isotrópica,
não depende de
, logo
- A radiância total por frequência que sai pelo orifício (somando todas as direções numa meia-esfera) é
Em coordenadas,
, então
- Substituindo
em obtém-se
como queríamos.
Passo 3
Como precisamos da potência num intervalo de comprimento de onda, passamos para densidade por
. Usamos
logo
E a radiância por comprimento de onda fica
Passo 4
A lei de Planck para densidade espectral por
é
Logo
Passo 5
A potência que sai pelo orifício é
Para
,
e intervalo estreito
, aproximamos
onde
.
O orifício tem raio
, então
Passo 6
Agora calculamos numericamente em
e
. Primeiro o fator exponencial:
Em seguida
Finalmente
Resposta
A constante de proporcionalidade é
A potência irradiada no intervalo de
a
pelo orifício de diâmetro
a
é aproximadamente