1-) Mostre que a constante de proporcionalidade em entre a radiância espectral RT(nu) e a sua densidade de energia rhoT(nu) é RT(nu)=(c / 4) rhoT(nu). Um radiador de cavidade a 6000 K tem um orifício de 0.10 mm de diâmetro feito em sua parede. Ache a potência irradiada através do orifício no intervalo de comprimentos de onda entre 5500 AA e 5510 AA.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas. Primeiro, mostrar que, para radiação isotrópica em equilíbrio térmico, a radiância espectral por frequência RT(nu) e a densidade de energia espectral rhoT(nu) estão ligadas por
RT(nu)=c4,rhoT(nu)
Em segundo lugar, calcular a potência que escapa por um orifício de diâmetro 0,10 mm num corpo negro a T=6000 K no intervalo de comprimentos de onda de 5500 AA a 5510 AA.

Passo 2

Vamos derivar RT(nu)=tfracc4rhoT(nu).
  1. Num cavidade em equilíbrio, a intensidade específica (radiância por direção) Inu é isotrópica e está relacionada à energia volumétrica rhonu por
energia total por volume = integralOmega Inuc,dOmega Longrightarrow rhonu = 1cintegral4piInu,dOmega
Como é isotrópica, Inu não depende de Omega, logo
rhonu = 1c,Inu,(4pi) Longrightarrow Inu = c4pi,rhonu
  1. A radiância total por frequência que sai pelo orifício (somando todas as direções numa meia-esfera) é
Rnu=integralhemisferaInucostheta,dOmega
Em coordenadas, dOmega=2pisintheta,dtheta, então
Rnu =Inu;2piintegral0^pi/2costhetasintheta,dtheta =Inu,2pil[tfrac12sin^2thetar]0^pi/2 =Inu,pi
  1. Substituindo Inu=tfracc4pirhonu em Rnu=Inupi obtém-se
Rnu=c4,rhonu,
como queríamos.

Passo 3

Como precisamos da potência num intervalo de comprimento de onda, passamos para densidade por lambda. Usamos
rholambda,dlambda=rhonu,dnu, dnu=clambda^2,dlambda,
logo
rholambda(lambda) =rhonu(nu),dnudlambda =clambda^2,rhonu(nu)
E a radiância por comprimento de onda fica
Rlambda(lambda) =c4,rholambda(lambda)

Passo 4

A lei de Planck para densidade espectral por lambda é
rholambda(T,lambda) =8pi hclambda^5,1exp!l(tfrachclambda kTr)-1
Logo
Rlambda(T,lambda) =c4,8pi hclambda^5, 1exp!l(tfrachclambda kTr)-1 =2pi hc^2lambda^5, 1exp!l(tfrachclambda kTr)-1

Passo 5

A potência que sai pelo orifício é
P = Aintegrallambda1^lambda2Rlambda(T,lambda),dlambda
Para lambda1=5500 AA, lambda2=5510 AA e intervalo estreito De<alambda=10 AA=1,0times10^-9 m, aproximamos
P approx A,Rlambdal(T,lambda0r),De<alambda,
onde lambda0=5505 AA.
O orifício tem raio r=0,05 mm=5,0times10^-5 m, então
A=pi r^2=pi,(5,0times10^-5)^2approx7,85times10^-9 m^2

Passo 6

Agora calculamos numericamente em lambda0=5,505times10^-7 m e T=6000 K. Primeiro o fator exponencial:
x=hclambda0kT approx6,626times10^-34cdot3,0times10^8 5,505times10^-7cdot1,381times10^-23cdot6000 approx4,36,
exp(x)-1approx e^4,36-1approx76,9
Em seguida
Rlambda(lambda0) =2pi,(6,626times10^-34)(3,0times10^8)^2 (5,505times10^-7)^5, 176,9 approx1,29times10^6;Wm^2,m
Finalmente
Papprox (7,85times10^-9,m^2), (1,29times10^6,tfracWm^3), (1,0times10^-9,m) approx7,6times10^-4 W

Resposta

A constante de proporcionalidade é
RT(nu)=c4,rhoT(nu)
A potência irradiada no intervalo de 5500 AA a 5510 AA pelo orifício de diâmetro 0,10 mm a 6000 K é aproximadamente
Papprox7,6times10^-4 W

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