3-) Mostre que a constante que relaciona a radiância espectral com a densidade volumétrica de energia no interior da cavidade é
, onde
é a velocidade de propagação da luz no vácuo. Desta feita tem-se:
. Justifique detalhadamente as suas respostas.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado do exercício. Precisamos mostrar que a constante que relaciona a radiância espectral (
) com a densidade volumétrica de energia (
) dentro de uma cavidade é
, onde
é a velocidade da luz no vácuo. Para isso, vamos utilizar conceitos de espectroscopia e teoria da radiação. Precisamos entender como a energia se distribui dentro da cavidade e como isso se relaciona com a radiância.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a densidade volumétrica de energia (
) representa a quantidade de energia por unidade de volume em uma cavidade para uma determinada frequência
. Já a radiância espectral (
) mede a quantidade de energia que passa por uma área específica por unidade de tempo, por unidade de frequência e por unidade de ângulo sólido.
Passo 3
Para relacionar essas duas grandezas, precisamos considerar como a energia se propaga dentro da cavidade. A luz se move em todas as direções possíveis, e a velocidade com que ela se propaga é
. A densidade volumétrica de energia está distribuída uniformemente em todas as direções dentro da cavidade.
Passo 4
A radiância espectral
pode ser obtida integrando a densidade de energia que atravessa uma área por unidade de tempo e por unidade de frequência. Como a energia se propaga em todas as direções, precisamos considerar a contribuição de todas as direções para a radiância.
Passo 5
Considerando a propagação em uma direção específica, a quantidade de energia que atravessa uma área é proporcional à densidade volumétrica de energia
e à velocidade da luz
. No entanto, como a propagação ocorre em todas as direções, a contribuição efetiva para a radiância é reduzida.
Passo 6
Essa redução ocorre porque estamos considerando apenas a componente da energia que atravessa a área em uma direção específica. Em média, apenas uma fração dessa energia contribui para a radiância em uma direção particular. Essa fração é
.
Passo 7
Portanto, combinando a contribuição da velocidade da luz e a fração efetiva da energia que contribui para a radiância, temos que:
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos:
Resposta
A constante que relaciona a radiância espectral com a densidade volumétrica de energia no interior da cavidade é
. Portanto: