3-) Mostre que a constante que relaciona a radiância espectral com a densidade volumétrica de energia no interior da cavidade é c4, onde c é a velocidade de propagação da luz no vácuo. Desta feita tem-se: . Justifique detalhadamente as suas respostas.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado do exercício. Precisamos mostrar que a constante que relaciona a radiância espectral ( RT(v)) com a densidade volumétrica de energia ( rhoT(v)) dentro de uma cavidade é c4, onde c é a velocidade da luz no vácuo. Para isso, vamos utilizar conceitos de espectroscopia e teoria da radiação. Precisamos entender como a energia se distribui dentro da cavidade e como isso se relaciona com a radiância.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a densidade volumétrica de energia ( rhoT(v)) representa a quantidade de energia por unidade de volume em uma cavidade para uma determinada frequência v. Já a radiância espectral ( RT(v)) mede a quantidade de energia que passa por uma área específica por unidade de tempo, por unidade de frequência e por unidade de ângulo sólido.

Passo 3

Para relacionar essas duas grandezas, precisamos considerar como a energia se propaga dentro da cavidade. A luz se move em todas as direções possíveis, e a velocidade com que ela se propaga é c. A densidade volumétrica de energia está distribuída uniformemente em todas as direções dentro da cavidade.

Passo 4

A radiância espectral RT(v) pode ser obtida integrando a densidade de energia que atravessa uma área por unidade de tempo e por unidade de frequência. Como a energia se propaga em todas as direções, precisamos considerar a contribuição de todas as direções para a radiância.

Passo 5

Considerando a propagação em uma direção específica, a quantidade de energia que atravessa uma área é proporcional à densidade volumétrica de energia rhoT(v) e à velocidade da luz c. No entanto, como a propagação ocorre em todas as direções, a contribuição efetiva para a radiância é reduzida.

Passo 6

Essa redução ocorre porque estamos considerando apenas a componente da energia que atravessa a área em uma direção específica. Em média, apenas uma fração dessa energia contribui para a radiância em uma direção particular. Essa fração é 14.

Passo 7

Portanto, combinando a contribuição da velocidade da luz e a fração efetiva da energia que contribui para a radiância, temos que:
RT(v) = c4 rhoT(v)
Multiplicando ambos os lados por dv, obtemos:
RT(v) dv = (c4) rhoT(v) dv

Resposta

A constante que relaciona a radiância espectral com a densidade volumétrica de energia no interior da cavidade é c4. Portanto:
RT(v) dv = (c4) rhoT(v) dv

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