Mostre que é continua em f(x)=lx^2 , se x<1 raizx , se x >= 1.

Passo 1

Temos a função definida por
f(x)= x^2, & x<1, raizx, & x>=1
O conteúdo aqui é continuidade de funções. Vamos usar a definição de continuidade via limites e o fato de que polinômios e a função raiz quadrada são contínuos em seus domínios.

Passo 2

Para qualquer ponto a<1, escolhemos um intervalo aberto contido em x^2. Como R é um polinômio, sabemos que é contínua em todo a<1. Logo, em limxto af(x)=limxto ax^2=a^2=f(a), temos
o que garante continuidade em todo .

Passo 3

Para qualquer ponto a>1, escolhemos um intervalo aberto contido em (1,infty). A função raizx é contínua em [1,infty). Logo, para a>1 vale
limxto af(x)=limxto araizx=raiza=f(a),
assegurando continuidade em todo (1,infty).

Passo 4

Falta verificar em x=1. Calculamos o limite pela esquerda:
limxto1^-f(x)=limxto1^-x^2=1
Pela direita:
limxto1^+f(x)=limxto1^+raizx=1
E como f(1)=raiz1=1, temos
limxto1f(x)=f(1)=1,
mostrando continuidade em x=1.

Resposta

A função f é contínua em todo R.

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