Questão 5. Ache a solução geral das EDO’s:
y^{\prime}=\frac{4 y}{x}+x \sqrt{y}
y^{\prime}=\frac{4 y}{x}+x \sqrt{y}
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução geral da EDO de primeira ordem
Esse tipo de equação não é linear em
, mas podemos transformar em uma equação linear fazendo a substituição
.
Passo 2
Vamos usar a substituição
. Assim, temos:
Substituindo na EDO original:
Dividindo ambos os lados por
(supondo
) resulta em
Passo 3
A equação em
é agora linear do tipo
onde
e
.
Para resolver, calculamos o fator integrante:
Para resolver, calculamos o fator integrante:
Passo 4
Multiplicamos a ODE por
:
O lado esquerdo é a derivada de
:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Logo,
Passo 5
Voltando à variável original
, obtemos a solução geral:
Resposta
A solução geral é
, onde
é constante arbitrária.