Questão 5. Ache a solução geral das EDO’s:
y^{\prime}=\frac{4 y}{x}+x \sqrt{y}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da EDO de primeira ordem
y' = 4yx + xraizy
Esse tipo de equação não é linear em y, mas podemos transformar em uma equação linear fazendo a substituição y = u^2.

Passo 2

Vamos usar a substituição y = u^2. Assim, temos:
raizy = u, y' = ddx(u^2) = 2ududx
Substituindo na EDO original:
2ududx = 4u^2x + xu
Dividindo ambos os lados por 2u (supondo uneq0) resulta em
dudx = 2ux + x2

Passo 3

A equação em u(x) é agora linear do tipo
dudx + P(x),u = Q(x),
onde P(x) = -tfrac2x e Q(x)=tfracx2.
Para resolver, calculamos o fator integrante:
mu(x)=e^integral P(x),dx=e^integral(-2/x),dx=x^-2

Passo 4

Multiplicamos a ODE por mu(x)=x^-2:
x^-2dudx-2x^-3u = x^-2cdot x2 = 12x
O lado esquerdo é a derivada de x^-2u:
ddxl(x^-2ur)=12x
Integrando ambos os lados em relação a x:
x^-2u = 12integral 1x,dx + C = 12ln|x| + C
Logo,
u = x^2l(tfrac12ln|x| + Cr)

Passo 5

Voltando à variável original y=u^2, obtemos a solução geral:
y = u^2 = x^4l(C + tfrac12ln|x|r)^2

Resposta

A solução geral é y = x^4l(C + 12ln|x|r)^2, onde C é constante arbitrária.

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