Questão 5. Ache a solução geral das EDO’s:
y^{\prime}=\frac{y}{x}+x

Passo 1

A questão pede a solução geral da EDO de primeira ordem dada por y'=yx+x. O conteúdo é EDO linear e vamos usar o método do fator integrante para resolvê-la.

Passo 2

Reescrevemos a equação na forma padrão de uma EDO linear: dydx-1xy = x Assim, identificamos o coeficiente de y como -1/x e calculamos o fator integrante.

Passo 3

O fator integrante é mu(x)=expl(integral -tfrac1x,dxr)=exp(-ln|x|)=1x Multiplicamos ambos os lados da equação padrão por mu(x)=1/x.

Passo 4

Após multiplicar, o lado esquerdo vira a derivada do produto mu(x)y: 1xdydx-1x^2y = 1 Longrightarrow ddxl(yxr)=1

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x: integralddxl(yxr)dx=integral1,dxLongrightarrow yx=x+C Por fim, isolamos y e obtemos a solução geral.

Resposta

y=x^2+Cx, onde C é constante arbitrária.

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