(7 pontos) Assinale a alternativa que corresponda a uma forma funcional de uma funçāo de onda y(x, t) que satisfaça à equação de onda. ( v é a velocidade da onda em propagação no meio).
a) y(x, t)=e^{x-t}.
d) y(x, t)=(v x-t)^{6}+(v x+t)^{6}
y(x, t)=\ln (2 x+2 v t)
c) y(x, t)=v t^{2}-v^{2} x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede que eu escolha qual das alternativas apresenta uma função de onda y(x,t) que satisfaça a equação de onda unidimensional (com velocidade de propagação v). As informações dadas são:
  • Equação de onda (a ser satisfeita): \frac{\partial^{2}y}{\partial t^{2}} = v^{2}\,\frac{\partial^{2}y}{\partial x^{2}}.
  • Alternativas (copiadas do enunciado):
    • a) y(x,t)=e^{x-t}.
    • b) y(x,t)=\ln(2x+2vt). (a linha isolada com \ln corresponde à segunda alternativa)
    • c) y(x,t)=v t^{2}-v^{2} x^{2}.
    • d) y(x,t)=(v x-t)^{6}+(v x+t)^{6}.
O objetivo é testar cada uma dessas funções e ver qual(es) satisfaz(em) a equação de onda para um valor arbitrário e fixo de v>0.

Passo 2

Plano e ferramenta principal (aulinha rápida): para checar se uma função y(x,t) resolve a equação, vou calcular explicitamente as derivadas parciais \partial^{2}y/\partial t^{2} e \partial^{2}y/\partial x^{2} e verificar se a relação \partial_{t}^{2}y = v^{2}\partial_{x}^{2}y vale.
Mini-aula sobre regra da cadeia (essencial aqui): se y(x,t)=F(\xi) com \xi=\xi(x,t), então
\frac{\partial y}{\partial x}=F'(\xi)\frac{\partial \xi}{\partial x},\qquad \frac{\partial y}{\partial t}=F'(\xi)\frac{\partial \xi}{\partial t},
e as segundas derivadas envolvem também F''(\xi) e derivadas de \xi. Um caso importante: se \xi=x+vt então
\frac{\partial y}{\partial x}=F'(\xi),\quad \frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}=F''(\xi),
\frac{\partial y}{\partial t}=v F'(\xi),\quad \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}=v^{2}F''(\xi),
logo qualquer F(x+vt) (ou F(x-vt)) satisfaz a equação de onda. Isso é um resultado padrão: combinações lineares F(x-vt)+G(x+vt) são soluções gerais da onda unidimensional.
Com isso em mente, vou testar cada alternativa por substituição e cálculo direto.

Passo 3

Teste da alternativa a): y(x,t)=e^{x-t}.
Calcule as derivadas:
\frac{\partial y}{\partial t} = -e^{x-t}, \qquad \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} = e^{x-t}.
\frac{\partial y}{\partial x} = e^{x-t}, \qquad \frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}} = e^{x-t}.
Substituindo na equação de onda:
\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} = e^{x-t},\qquad v^{2}\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}} = v^{2} e^{x-t}.
Para igualdade é necessário e^{x-t}=v^{2}e^{x-t}. Como e^{x-t}\neq 0, isso exige 1=v^{2}, ou seja v=1 (ou v=-1, mas velocidade física é v>0). Conclusão: a alternativa a) satisfaz a equação de onda somente no caso especial v=1. Para v arbitrário não serve.

Passo 4

Teste da alternativa b): y(x,t)=\ln(2x+2vt).
Observação de domínio: a função logarítmica exige 2x+2vt>0; portanto a solução só faz sentido onde essa expressão é positiva. Agora as derivadas (uso \zeta=2x+2vt para clareza):
y(x,t)=\ln(\zeta),\qquad \zeta=2x+2vt.
Derivadas:
\frac{\partial y}{\partial x}=\frac{1}{\zeta}\frac{\partial\zeta}{\partial x}=\frac{1}{\zeta}\cdot 2=\frac{2}{\zeta},
\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{2}{\zeta}\right) = -\frac{2}{\zeta^{2}}\frac{\partial\zeta}{\partial x} = -\frac{2}{\zeta^{2}}\cdot 2 = -\frac{4}{\zeta^{2}}.
\frac{\partial y}{\partial t}=\frac{1}{\zeta}\frac{\partial\zeta}{\partial t}=\frac{1}{\zeta}\cdot 2v=\frac{2v}{\zeta},
\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}=\frac{\partial}{\partial t}\!\left(\frac{2v}{\zeta}\right) = -\frac{2v}{\zeta^{2}}\frac{\partial\zeta}{\partial t} = -\frac{2v}{\zeta^{2}}\cdot 2v = -\frac{4v^{2}}{\zeta^{2}}.
Agora compare:
\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} = -\frac{4v^{2}}{\zeta^{2}}, \qquad v^{2}\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}} = v^{2}\left(-\frac{4}{\zeta^{2}}\right) = -\frac{4v^{2}}{\zeta^{2}}.
As duas expressões coincidem exatamente (onde \zeta>0). Portanto y(x,t)=\ln(2x+2vt) satisfaz a equação de onda para qualquer v (desde que o argumento do log seja positivo). Isso ocorre porque y é função de \zeta=x+vt (até um fator 2), i.e. é da forma F(x+vt), e vimos que tais funções são soluções.

Passo 5

Teste da alternativa c): y(x,t)=v t^{2}-v^{2} x^{2}.
Derivadas:
\frac{\partial y}{\partial t}=2v t,\qquad \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}=2v.
\frac{\partial y}{\partial x}=-2v^{2}x,\qquad \frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}=-2v^{2}.
Então
\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} = 2v, \qquad v^{2}\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}} = v^{2}(-2v^{2}) = -2v^{4}.
Esses dois lados só seriam iguais se 2v=-2v^{4}, o que implica 1=-v^{3} (dividindo por 2v quando v\neq 0), impossível para v>0. Conclusão: alternativa c) não satisfaz a equação de onda para v arbitrário.

Passo 6

Teste da alternativa d): y(x,t)=(v x-t)^{6}+(v x+t)^{6}.
Defina \alpha=vx-t e \beta=vx+t. Então y=\alpha^{6}+\beta^{6}.
Calcule derivadas usando regra da cadeia:
Primeiras derivadas temporais:
\frac{\partial \alpha}{\partial t}=-1,\quad \frac{\partial \beta}{\partial t}=1,
\frac{\partial y}{\partial t}=6\alpha^{5}\frac{\partial\alpha}{\partial t}+6\beta^{5}\frac{\partial\beta}{\partial t} = -6\alpha^{5}+6\beta^{5}.
Segundas derivadas temporais:
\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} = -6\cdot 5\alpha^{4}\frac{\partial\alpha}{\partial t} + 6\cdot 5\beta^{4}\frac{\partial\beta}{\partial t} = -30\alpha^{4}(-1)+30\beta^{4}(1)=30(\alpha^{4}+\beta^{4}).
Agora derivadas espaciais:
\frac{\partial \alpha}{\partial x}=v,\quad \frac{\partial \beta}{\partial x}=v,
\frac{\partial y}{\partial x}=6\alpha^{5}v+6\beta^{5}v=6v(\alpha^{5}+\beta^{5}).
Segunda derivada espacial:
\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}=6v\left(5\alpha^{4}\frac{\partial\alpha}{\partial x}+5\beta^{4}\frac{\partial\beta}{\partial x}\right) =30v( \alpha^{4}v + \beta^{4}v)=30v^{2}(\alpha^{4}+\beta^{4}).
Multiplicando por v^{2}:
v^{2}\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}} = 30 v^{4}(\alpha^{4}+\beta^{4}).
Comparando com \partial_{t}^{2}y:
\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} = 30(\alpha^{4}+\beta^{4}), \qquad v^{2}\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}} = 30 v^{4}(\alpha^{4}+\beta^{4}).
Esses lados só coincidem para todo (x,t) se v^{4}=1, i.e. v=1 (novamente, considerando v>0). Portanto a alternativa d) satisfaz a equação apenas no caso especial v=1, não para v arbitrário.

Passo 7

Resumo das conclusões:
  • a) só é solução se v=1 — não vale para v arbitrário.
  • b) é solução para qualquer v (na região onde 2x+2vt>0), porque é da forma F(x+vt).
  • c) não é solução (exceto casos degenerados que não interessam).
  • d) só é solução se v=1.
Portanto, a única alternativa que é solução da equação de onda para um v arbitrário e positivo é a alternativa b), y(x,t)=\ln(2x+2vt) (lembrando a restrição de domínio 2x+2vt>0).

Resposta

b) \displaystyle y(x,t)=\ln(2x+2vt)

Exercícios relacionados