(7 pontos) Assinale a alternativa que corresponda a uma forma funcional de uma funçāo de onda
que satisfaça à equação de onda. (
é a velocidade da onda em propagação no meio).
a)
.
d)
c)
.
a)
d)
Passo 1
O enunciado pede que eu escolha qual das alternativas apresenta uma função de onda
que satisfaça a equação de onda unidimensional (com velocidade de propagação
). As informações dadas são:
- Equação de onda (a ser satisfeita):
- Alternativas (copiadas do enunciado):
- a)
. - b)
. (a linha isolada com corresponde à segunda alternativa) - c)
. - d)
.
- a)
O objetivo é testar cada uma dessas funções e ver qual(es) satisfaz(em) a equação de onda para um valor arbitrário e fixo de
.
Passo 2
Plano e ferramenta principal (aulinha rápida): para checar se uma função
resolve a equação, vou calcular explicitamente as derivadas parciais
e
e verificar se a relação
vale.
Mini-aula sobre regra da cadeia (essencial aqui): se
com
, então
e as segundas derivadas envolvem também
e derivadas de
. Um caso importante: se
então
logo qualquer
(ou
) satisfaz a equação de onda. Isso é um resultado padrão: combinações lineares
são soluções gerais da onda unidimensional.
Com isso em mente, vou testar cada alternativa por substituição e cálculo direto.
Passo 3
Teste da alternativa a):
.
Calcule as derivadas:
Substituindo na equação de onda:
Para igualdade é necessário
. Como
, isso exige
, ou seja
(ou
, mas velocidade física é
). Conclusão: a alternativa a) satisfaz a equação de onda somente no caso especial
. Para
arbitrário não serve.
Passo 4
Teste da alternativa b):
.
Observação de domínio: a função logarítmica exige
; portanto a solução só faz sentido onde essa expressão é positiva. Agora as derivadas (uso
para clareza):
Derivadas:
Agora compare:
As duas expressões coincidem exatamente (onde
). Portanto
satisfaz a equação de onda para qualquer
(desde que o argumento do log seja positivo). Isso ocorre porque
é função de
(até um fator 2), i.e. é da forma
, e vimos que tais funções são soluções.
Passo 5
Teste da alternativa c):
.
Derivadas:
Então
Esses dois lados só seriam iguais se
, o que implica
(dividindo por
quando
), impossível para
. Conclusão: alternativa c) não satisfaz a equação de onda para
arbitrário.
Passo 6
Teste da alternativa d):
.
Defina
e
. Então
.
Calcule derivadas usando regra da cadeia:
Calcule derivadas usando regra da cadeia:
Primeiras derivadas temporais:
Segundas derivadas temporais:
Agora derivadas espaciais:
Segunda derivada espacial:
Multiplicando por
:
Comparando com
:
Esses lados só coincidem para todo
se
, i.e.
(novamente, considerando
). Portanto a alternativa d) satisfaz a equação apenas no caso especial
, não para
arbitrário.
Passo 7
Resumo das conclusões:
- a) só é solução se
— não vale para arbitrário. - b) é solução para qualquer
(na região onde ), porque é da forma . - c) não é solução (exceto casos degenerados que não interessam).
- d) só é solução se
.
Portanto, a única alternativa que é solução da equação de onda para um
arbitrário e positivo é a alternativa b),
(lembrando a restrição de domínio
).
Resposta
b)