Mostre que cos x não é polinômio.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que cos x não pode ser representado por nenhum polinômio real P(x). Vamos usar duas propriedades básicas:
  1. Qualquer polinômio real de grau n>=1 é não-limitado (isto é, limxtoinfty|P(x)|=+infty).
  2. A função cos x é limitada, pois para todo x vale -1<=cos x<=1, e não é constante.

Passo 2

Suponha, por contradição, que exista um polinômio real P(x) tal que
P(x)=cos x
para todo x.
Se deg P>=1, então
limxtoinfty|P(x)|=+infty,
por uma propriedade clássica de polinômios. Mas isso é impossível, pois |cos x|<=1 para todo x. Logo não pode ocorrer deg P>=1.

Passo 3

O único caso restante seria deg P=0, ou seja, P(x)=C é constante. Da igualdade P(x)=cos x seguiria cos x=C para todo x, o que contradiz o fato de cos x variar (por exemplo, cos0=1 e cospi=-1).

Resposta

Portanto, não existe polinômio P(x) tal que P(x)=cos x em R. Em outras palavras, cos x não é polinômio.

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