Mostre que
não é polinômio.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
não pode ser representado por nenhum polinômio real
. Vamos usar duas propriedades básicas:
- Qualquer polinômio real de grau
é não-limitado (isto é, ). - A função
é limitada, pois para todo vale , e não é constante.
Passo 2
Suponha, por contradição, que exista um polinômio real
tal que
para todo
.
Se , então
Se
por uma propriedade clássica de polinômios. Mas isso é impossível, pois
para todo
. Logo não pode ocorrer
.
Passo 3
O único caso restante seria
, ou seja,
é constante. Da igualdade
seguiria
para todo
, o que contradiz o fato de
variar (por exemplo,
e
).
Resposta
Portanto, não existe polinômio
tal que
em
. Em outras palavras,
não é polinômio.