Mostre que cos (2 x)=2 x possui solução no intervalo (0, pi4) -

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a equação cos(2x) = 2x tem pelo menos uma solução no intervalo (0, pi4). Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário da matemática, que nos ajuda a garantir a existência de soluções para certas equações dentro de um intervalo específico.

Passo 2

Primeiro, vamos definir uma função que representa a diferença entre os dois lados da equação que queremos resolver. Vamos chamar essa função de f(x):
f(x) = cos(2x) - 2x
Nosso objetivo é encontrar um valor de x no intervalo (0, pi4) que faz com que f(x) = 0. Ou seja, onde cos(2x) = 2x.

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor de f(x) nos extremos do intervalo dado, ou seja, em x = 0 e em x = pi4.
Quando x = 0:
f(0) = cos(2 times 0) - 2 times 0 = cos(0) - 0 = 1 - 0 = 1
Quando x = pi4:
f(pi4) = cos(2 times pi4) - 2 times pi4 = cos(pi2) - pi2 = 0 - pi2 = -pi2

Passo 4

Observamos que:
  • Em x = 0, f(0) = 1 (positivo).
  • Em x = pi4, f(pi4) = -pi2 (negativo).
Segundo o Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua em um intervalo [a, b] assume valores de sinais opostos nos extremos desse intervalo, então existe pelo menos um ponto c em (a, b) onde f(c) = 0.
Como nossa função f(x) = cos(2x) - 2x é contínua no intervalo (0, pi4) e muda de positivo para negativo, pelo teorema, existe pelo menos um valor de x nesse intervalo que satisfaz cos(2x) = 2x.

Resposta

Portanto, a equação cos(2x) = 2x possui pelo menos uma solução no intervalo (0, pi4).

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