Mostre que
possui solução no intervalo
-
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a equação
tem pelo menos uma solução no intervalo
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário da matemática, que nos ajuda a garantir a existência de soluções para certas equações dentro de um intervalo específico.
Passo 2
Primeiro, vamos definir uma função que representa a diferença entre os dois lados da equação que queremos resolver. Vamos chamar essa função de
:
Nosso objetivo é encontrar um valor de
no intervalo
que faz com que
. Ou seja, onde
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor de
nos extremos do intervalo dado, ou seja, em
e em
.
Quando
:
Quando
:
Passo 4
Observamos que:
- Em
, (positivo). - Em
, (negativo).
Segundo o Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua em um intervalo [a, b] assume valores de sinais opostos nos extremos desse intervalo, então existe pelo menos um ponto
em
onde
.
Como nossa função
é contínua no intervalo
e muda de positivo para negativo, pelo teorema, existe pelo menos um valor de
nesse intervalo que satisfaz
.
Resposta
Portanto, a equação
possui pelo menos uma solução no intervalo
.