Calcule:
lim x 0^- |x^3-x|x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 0 pela esquerda ($ 0^- $) da expressão $ \frac{\left|x^{3}-x\right|}{x} $. Isso envolve conhecimentos de limites, funções absolutas e comportamento de funções próximas de um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a expressão dentro do valor absoluto: $ x^3 - x $. Podemos fatorar isso:
x^3 - x

Passo 3

Agora, vamos analisar o sinal de $ x^3 - x $ para $ x $ próximo de 0 pela esquerda. Como $ x $ é negativo perto de 0, $ x^3 $ também será negativo (já que um número negativo elevado a uma potência ímpar continua negativo). Então, $ x^3 - x $ será a soma de dois números negativos, o que dá um número negativo.

Passo 4

Como $ x^3 - x $ é negativo perto de 0 pela esquerda, o valor absoluto $ \left|x^3 - x\right| $ vai virar o oposto desse valor, ou seja:
x^3 - x

Passo 5

Agora substituímos de volta na expressão original:
|x^3-x|x = -x^3 + xx
Podemos simplificar dividindo cada termo do numerador por $ x $:
x

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite de $ -x^2 + 1 $ quando $ x $ se aproxima de 0:
-x^2 + 1

Resposta

O limite quando $ x $ se aproxima de 0 pela esquerda é igual a 1.

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