Mostre que y=c1 cos 2 x+c2 sen 2 x+sen x é solução de d^2 yd x^2+4 y=3 sen x.

Passo 1

O exercício pede para verificar que a função y = c1cos 2x + c2sin 2x + sin x satisfaz a equação diferencial d^2ydx^2 + 4y = 3sin x. Trata-se de uma EDO linear de 2ª ordem não homogênea, e vamos precisar derivar y duas vezes e depois substituir na equação.

Passo 2

Primeiro calculamos a primeira e a segunda derivadas de y. Usando as regras de derivação para funções trigonométricas, obtemos:
y' = ddxl(c1cos 2x + c2sin 2x + sin xr) = -2c1sin 2x + 2c2cos 2x + cos x
y'' = ddxy' = ddxl(-2c1sin 2x + 2c2cos 2x + cos xr) = -4c1cos 2x - 4c2sin 2x - sin x

Passo 3

Agora substituímos y e y'' na equação y'' + 4y:
y'' + 4y = l(-4c1cos 2x - 4c2sin 2x - sin xr) + 4l(c1cos 2x + c2sin 2x + sin xr)

Passo 4

Ao distribuir e somar os termos semelhantes, os termos com c1 e c2 se cancelam e sobra
-sin x + 4sin x = 3sin x

Passo 5

Logo, obtemos y'' + 4y = 3sin x, exatamente o membro direito da equação diferencial proposta.

Resposta

Verificamos que y'' + 4y = 3sin x, portanto a função dada é solução da equação diferencial.

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