Mostre que:
Passo 1
O que o problema pede: mostrar que
para um número arbitrário
(pode ser
ou
).
Informações dadas: apenas a igualdade a ser demonstrada; é um símbolo qualquer que representa o argumento da função cosseno.
Informações dadas: apenas a igualdade a ser demonstrada;
Passo 2
Vou usar a definição exponencial de cosseno (fórmula de Euler). Primeiro apresento a fórmula de Euler e explico o que cada símbolo significa.
A fórmula de Euler afirma que, para todo número real
,
onde
é a unidade imaginária (
),
é a função exponencial (que pode ser estendida a argumentos complexos
) e
,
são as funções trigonométricas habituais. Para argumentos complexos
a identidade que define o cosseno em termos da exponencial é
onde
e
são bem definidas pelo desenvolvimento em série ou pela extensão natural da exponencial ao plano complexo.
Explicação didática rápida: a expressão acima diz que o cosseno é a média aritmética de
e
. As exponenciais complexas continuam a obedecer às regras usuais de exponenciação, portanto podemos manipulá‑las como números.
Passo 3
Agora aplico a definição para o argumento
. Substituo
por
na fórmula:
Simplificando os expoentes, usando
e
, obtemos
Passo 4
A expressão que obtivemos em
é igual à expressão original de
porque a soma é comutativa. Escrevendo em ordem igual à definição,
Portanto concluímos que
Passo 5
Complemento didático (método alternativo pelo desenvolvimento em série): outra forma clássica de ver que o cosseno é uma função par é usar sua série de Taylor (Maclaurin). A série de
em torno de
é
Aqui a notação significa: somar para
o termo
. Note que só aparecem potências pares de
(
), ou seja,
é uma combinação de termos que dependem de
,
, etc. Substituindo
na série dá
porque
. Isso mostra, de forma alternativa e elementar, que
é par:
.