Mostre que:
\cos (-z)=\cos z

Passo 1

O que o problema pede: mostrar que \cos(-z)=\cos z para um número arbitrário z (pode ser z\in\mathbb{R} ou z\in\mathbb{C}).
Informações dadas: apenas a igualdade a ser demonstrada; z é um símbolo qualquer que representa o argumento da função cosseno.

Passo 2

Vou usar a definição exponencial de cosseno (fórmula de Euler). Primeiro apresento a fórmula de Euler e explico o que cada símbolo significa.
A fórmula de Euler afirma que, para todo número real \theta,
e^{i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta,
onde i é a unidade imaginária ( i^2=-1), e^{w} é a função exponencial (que pode ser estendida a argumentos complexos w) e \sin, \cos são as funções trigonométricas habituais. Para argumentos complexos z a identidade que define o cosseno em termos da exponencial é
\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2},
onde e^{iz} e e^{-iz} são bem definidas pelo desenvolvimento em série ou pela extensão natural da exponencial ao plano complexo.
Explicação didática rápida: a expressão acima diz que o cosseno é a média aritmética de e^{iz} e e^{-iz}. As exponenciais complexas continuam a obedecer às regras usuais de exponenciação, portanto podemos manipulá‑las como números.

Passo 3

Agora aplico a definição para o argumento -z. Substituo z por -z na fórmula:
\cos(-z)=\frac{e^{i(-z)}+e^{-i(-z)}}{2}.
Simplificando os expoentes, usando i(-z)=-iz e -i(-z)=iz, obtemos
\cos(-z)=\frac{e^{-iz}+e^{iz}}{2}.

Passo 4

A expressão que obtivemos em \cos(-z) é igual à expressão original de \cos z porque a soma é comutativa. Escrevendo em ordem igual à definição,
\frac{e^{-iz}+e^{iz}}{2}=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=\cos z.
Portanto concluímos que
\cos(-z)=\cos z.

Passo 5

Complemento didático (método alternativo pelo desenvolvimento em série): outra forma clássica de ver que o cosseno é uma função par é usar sua série de Taylor (Maclaurin). A série de \cos z em torno de 0 é
\cos z=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{z^{2n}}{(2n)!}.
Aqui a notação significa: somar para n=0,1,2,\dots o termo (-1)^n z^{2n}/(2n)!. Note que só aparecem potências pares de z ( z^{2n}), ou seja, \cos z é uma combinação de termos que dependem de z^2, z^4, etc. Substituindo -z na série dá
\cos(-z)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{(-z)^{2n}}{(2n)!}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{z^{2n}}{(2n)!}=\cos z,
porque (-z)^{2n}=z^{2n}. Isso mostra, de forma alternativa e elementar, que \cos é par: \cos(-z)=\cos z.

Resposta

\cos(-z)=\cos z

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