Mostre que:
Passo 1
O problema pede para mostrar a identidade
onde
e
são números complexos (ou reais).
Informações dadas: a igualdade a ser provada é a fórmula de adição do cosseno para dois argumentos e
. Não há outros dados numéricos.
Informações dadas: a igualdade a ser provada é a fórmula de adição do cosseno para dois argumentos
Passo 2
Vamos usar as definições (vindo das séries de potências ou da fórmula de Euler) de cosseno e seno em termos da exponencial complexa. Essas fórmulas valem para
e são:
Aqui
é a unidade imaginária (
),
é a exponencial complexa, e as expressões acima são apenas formas alternativas (muito úteis) para
e
. Note que em português usamos
para o seno; matematicamente
.
Passo 3
Calculemos diretamente o lado esquerdo usando a definição exponencial:
Como a exponencial satisfaz
e
, temos
Passo 4
Agora calculamos o lado direito usando as definições de
e
. Primeiro escrevemos cada termo em termos de exponenciais:
Portanto
Passo 5
Simplifiquemos a expressão do passo anterior. Somando os dois termos (pois o segundo tem sinal que vira soma):
Expandindo e agrupando os termos do numerador (usando
,
,
,
para enxergar mais fácil):
Dividindo por
obtemos
e isso é exatamente a expressão encontrada no Passo 3 para
.
Passo 6
Concluímos que ambas as expressões coincidem:
valendo para
. Dica amiga: esse método (usar as fórmulas exponenciais) é o jeito mais direto e mecânico para provar identidades trigonométricas, e funciona perfeitamente também no caso complexo.