Mostre que:
\cos (z+w)=\cos z \cos w-\operatorname{sen} z \operatorname{sen} w

Passo 1

O problema pede para mostrar a identidade
\cos(z+w)=\cos z\cos w-\operatorname{sen}z\operatorname{sen}w,
onde z e w são números complexos (ou reais).
Informações dadas: a igualdade a ser provada é a fórmula de adição do cosseno para dois argumentos z e w. Não há outros dados numéricos.

Passo 2

Vamos usar as definições (vindo das séries de potências ou da fórmula de Euler) de cosseno e seno em termos da exponencial complexa. Essas fórmulas valem para z\in\mathbb{C} e são:
\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}, \qquad \sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}.
Aqui i é a unidade imaginária ( i^2=-1), e^{u} é a exponencial complexa, e as expressões acima são apenas formas alternativas (muito úteis) para \cos e \sin. Note que em português usamos \operatorname{sen}z para o seno; matematicamente \operatorname{sen}z=\sin z.

Passo 3

Calculemos diretamente o lado esquerdo usando a definição exponencial:
\cos(z+w)=\frac{e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}}{2}.
Como a exponencial satisfaz e^{i(z+w)}=e^{iz}e^{iw} e e^{-i(z+w)}=e^{-iz}e^{-iw}, temos
\cos(z+w)=\frac{e^{iz}e^{iw}+e^{-iz}e^{-iw}}{2}.

Passo 4

Agora calculamos o lado direito usando as definições de \cos e \sin. Primeiro escrevemos cada termo em termos de exponenciais:
\cos z\cos w=\frac{(e^{iz}+e^{-iz})(e^{iw}+e^{-iw})}{4},
\operatorname{sen}z\operatorname{sen}w=\sin z\sin w=\frac{(e^{iz}-e^{-iz})(e^{iw}-e^{-iw})}{(2i)(2i)}=\frac{(e^{iz}-e^{-iz})(e^{iw}-e^{-iw})}{-4}.
Portanto
\cos z\cos w-\operatorname{sen}z\operatorname{sen}w =\frac{(e^{iz}+e^{-iz})(e^{iw}+e^{-iw})}{4} -\left(\frac{(e^{iz}-e^{-iz})(e^{iw}-e^{-iw})}{-4}\right).

Passo 5

Simplifiquemos a expressão do passo anterior. Somando os dois termos (pois o segundo tem sinal que vira soma):
\cos z\cos w-\operatorname{sen}z\operatorname{sen}w =\frac{(e^{iz}+e^{-iz})(e^{iw}+e^{-iw})+(e^{iz}-e^{-iz})(e^{iw}-e^{-iw})}{4}.
Expandindo e agrupando os termos do numerador (usando X=e^{iz}, X^{-1}=e^{-iz}, Y=e^{iw}, Y^{-1}=e^{-iw} para enxergar mais fácil):
\begin{aligned} &\quad\\ (X+X^{-1})(Y+Y^{-1})+(X-X^{-1})(Y-Y^{-1})\\\ &=XY+XY^{-1}+X^{-1}Y+X^{-1}Y^{-1}+XY-XY^{-1}-X^{-1}Y+X^{-1}Y^{-1}\\\ &=2XY+2X^{-1}Y^{-1}\\\ &=2\big(e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}\big). \end{aligned}
Dividindo por 4 obtemos
\cos z\cos w-\operatorname{sen}z\operatorname{sen}w =\frac{1}{2}\big(e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}\big),
e isso é exatamente a expressão encontrada no Passo 3 para \cos(z+w).

Passo 6

Concluímos que ambas as expressões coincidem:
\cos(z+w)=\cos z\cos w-\operatorname{sen}z\operatorname{sen}w,
valendo para z,w\in\mathbb{C}. Dica amiga: esse método (usar as fórmulas exponenciais) é o jeito mais direto e mecânico para provar identidades trigonométricas, e funciona perfeitamente também no caso complexo.

Resposta

\cos (z+w)=\cos z \cos w-\operatorname{sen} z \operatorname{sen} w

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