Mostre que:
\operatorname{sen}(-z)=-\operatorname{sen} z

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que \operatorname{sen}(-z)=-\operatorname{sen} z.
Informações dadas (implícitas no enunciado): z é um número qualquer (pode ser real ou complexo) e \operatorname{sen} é a função seno. Não há outras hipóteses fornecidas.

Passo 2

Definição conveniente que vamos usar: a função seno pode ser definida pela sua série de Taylor centrada em 0. Essa definição vale para todos os z\in\mathbb{C} e é
\operatorname{sen} z = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\,\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}.
Explicando os símbolos:
  • \sum_{n=0}^{\infty} significa que somamos termos para n=0,1,2,\dots.
  • (-1)^n dá alternância de sinais +,-,+,-,\dots.
  • z^{2n+1} é a potência inteira de z.
  • (2n+1)! é o fatorial de 2n+1, ou seja (2n+1)!=(2n+1)(2n)\cdots1.
Observação didática rápida: essa série converge absolutamente para todo z, então podemos substituir z por -z e manipular os termos livremente.

Passo 3

Calculemos \operatorname{sen}(-z) substituindo -z na série:
\operatorname{sen}(-z)=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\,\frac{(-z)^{2n+1}}{(2n+1)!}.
Agora precisamos simplificar (-z)^{2n+1}. Como 2n+1 é um inteiro ímpar, vale a propriedade de potências:
(-z)^{2n+1}=(-1)^{2n+1} z^{2n+1}=(-1)^{2n}\cdot(-1)\cdot z^{2n+1}=(-1)\, z^{2n+1},
porque (-1)^{2n}=1. Portanto cada termo da série adquire um fator -1.

Passo 4

Substituindo essa simplificação na soma,
\operatorname{sen}(-z)=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\,\frac{(-1)\, z^{2n+1}}{(2n+1)!} = -\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\,\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}.
Mas a soma à direita é exatamente a série que define \operatorname{sen} z. Logo
\operatorname{sen}(-z) = -\,\operatorname{sen} z.

Passo 5

Interpretação e exemplo concreto para fixar: a série do seno contém apenas potências ímpares de z, por isso trocar z por -z muda o sinal de cada termo — e, portanto, do somatório inteiro. Exemplo numérico simples: \operatorname{sen}(-\pi/6)=-\operatorname{sen}(\pi/6)=-\tfrac{1}{2}.

Resposta

\operatorname{sen}(-z)=-\operatorname{sen} z

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