Mostre que:
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que
.
Informações dadas (implícitas no enunciado): é um número qualquer (pode ser real ou complexo) e
é a função seno. Não há outras hipóteses fornecidas.
Informações dadas (implícitas no enunciado):
Passo 2
Definição conveniente que vamos usar: a função seno pode ser definida pela sua série de Taylor centrada em
. Essa definição vale para todos os
e é
Explicando os símbolos:
-
significa que somamos termos para . -
dá alternância de sinais . -
é a potência inteira de . -
é o fatorial de , ou seja .
Observação didática rápida: essa série converge absolutamente para todo
, então podemos substituir
por
e manipular os termos livremente.
Passo 3
Calculemos
substituindo
na série:
Agora precisamos simplificar
. Como
é um inteiro ímpar, vale a propriedade de potências:
porque
. Portanto cada termo da série adquire um fator
.
Passo 4
Substituindo essa simplificação na soma,
Mas a soma à direita é exatamente a série que define
. Logo
Passo 5
Interpretação e exemplo concreto para fixar: a série do seno contém apenas potências ímpares de
, por isso trocar
por
muda o sinal de cada termo — e, portanto, do somatório inteiro. Exemplo numérico simples:
.