Mostre que:
see sóse
Passo 1
O que o enunciado pede: provar que a equação
tem solução se e somente se
, com
.
Informações relevantes que vamos usar (definições/identidades que valem para
complexo):
- A função seno complexa é dada pela fórmula exponencial
- Propriedade da exponencial complexa que será usada: para
vale que exatamente quando para algum . Nesta resolução essa propriedade será demonstrada detalhadamente.
Passo 2
Transformar a equação
usando a definição exponencial do seno. Se
então, pela definição,
Multiplicando ambos os lados por
(que é um número não nulo), obtemos
Passo 3
A partir de
temos
Multiplicando ambos os lados por
(também não nulo), chega-se a
Portanto, a condição
implica a condição
.
Passo 4
Provar a propriedade:
se e somente se
, com
.
- Escreva
com . Então
- Se
então . Igualando partes reais e imaginárias e o módulo: - O módulo dá
, logo . - Então
. Igualando partes reais e imaginárias: - As soluções reais de
e são exatamente com .
- O módulo dá
- Assim
. A recíproca também é clara: se então . Logo a propriedade está demonstrada.
Passo 5
Aplicar a propriedade ao caso
. Tomando
, pela propriedade existe
tal que
Dividindo ambos os lados por
(número não nulo) obtemos
Portanto, a partir de
deduzimos que
para algum
.
Passo 6
Verificar a recíproca: se
com
, então
.
- Substituindo na fórmula exponencial do seno:
Mas
. Logo
Assim, todo
é realmente zero do seno complexo.
Passo 7
Conclusão lógica: mostramos que
implica
e que
implica
. Portanto as soluções de
são exatamente os números da forma
com
.