Mostre que:
\operatorname{sen} z=0 see sóse z=n \pi, n \in Z

Passo 1

O que o enunciado pede: provar que a equação \operatorname{sen} z=0 tem solução se e somente se z=n\pi, com n\in\mathbb{Z}.
Informações relevantes que vamos usar (definições/identidades que valem para z complexo):
  • A função seno complexa é dada pela fórmula exponencial
\operatorname{sen} z = \frac{e^{i z}-e^{-i z}}{2i}.
  • Propriedade da exponencial complexa que será usada: para w\in\mathbb{C} vale que e^{w}=1 exatamente quando w=2\pi i n para algum n\in\mathbb{Z}. Nesta resolução essa propriedade será demonstrada detalhadamente.

Passo 2

Transformar a equação \operatorname{sen} z=0 usando a definição exponencial do seno. Se \operatorname{sen} z=0 então, pela definição,
\frac{e^{i z}-e^{-i z}}{2i}=0.
Multiplicando ambos os lados por 2i (que é um número não nulo), obtemos
e^{i z}-e^{-i z}=0.

Passo 3

A partir de e^{i z}-e^{-i z}=0 temos
e^{i z}=e^{-i z}.
Multiplicando ambos os lados por e^{i z} (também não nulo), chega-se a
e^{2i z}=1.
Portanto, a condição \operatorname{sen} z=0 implica a condição e^{2i z}=1.

Passo 4

Provar a propriedade: e^{w}=1 se e somente se w=2\pi i n, com n\in\mathbb{Z}.
  • Escreva w=u+iv com u,v\in\mathbb{R}. Então
e^{w}=e^{u+iv}=e^{u}(\cos v + i\sin v).
  • Se e^{w}=1 então e^{u}(\cos v + i\sin v)=1+0i. Igualando partes reais e imaginárias e o módulo:
    • O módulo dá e^{u}=1, logo u=0.
    • Então e^{w}=\cos v + i\sin v =1. Igualando partes reais e imaginárias: \cos v = 1,\qquad \sin v = 0.
    • As soluções reais de \cos v=1 e \sin v=0 são exatamente v=2\pi n com n\in\mathbb{Z}.
  • Assim w=0+i(2\pi n)=2\pi i n. A recíproca também é clara: se w=2\pi i n então e^{w}=e^{2\pi i n}=1. Logo a propriedade está demonstrada.

Passo 5

Aplicar a propriedade ao caso e^{2i z}=1. Tomando w=2i z, pela propriedade existe n\in\mathbb{Z} tal que
2i z = 2\pi i n.
Dividindo ambos os lados por 2i (número não nulo) obtemos
z = \pi n.
Portanto, a partir de \operatorname{sen} z=0 deduzimos que z=\pi n para algum n\in\mathbb{Z}.

Passo 6

Verificar a recíproca: se z=\pi n com n\in\mathbb{Z}, então \operatorname{sen} z=0.
  • Substituindo na fórmula exponencial do seno:
\operatorname{sen}(\pi n)=\frac{e^{i\pi n}-e^{-i\pi n}}{2i}.
Mas e^{i\pi n}=(e^{i\pi})^{n}=(-1)^{n}. Logo
\operatorname{sen}(\pi n)=\frac{(-1)^{n}-(-1)^{n}}{2i}=0.
Assim, todo z=\pi n é realmente zero do seno complexo.

Passo 7

Conclusão lógica: mostramos que \operatorname{sen} z=0 implica z=\pi n e que z=\pi n implica \operatorname{sen} z=0. Portanto as soluções de \operatorname{sen} z=0 são exatamente os números da forma z=\pi n com n\in\mathbb{Z}.

Resposta

z = n \pi,\; n \in \mathbb{Z}

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