Mostre que
,
Sugestão: Expresse as funções trigonométrica e hiperbólica em termos de exponenciais.
Sugestão: Expresse as funções trigonométrica e hiperbólica em termos de exponenciais.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para
complexo, vale
O conteúdo envolvido é a definição da função cosseno em termos de exponenciais e a inversão dessa relação para obter a arcocosseno.
Passo 2
Se definirmos
então por definição
Como sabemos que
podemos escrever
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por
e em seguida por
, obtemos
Isso é uma equação quadrática em
:
Passo 4
Aplicando a fórmula de Bhaskara para resolver em
, temos
Passo 5
Como
, basta tirar logaritmo:
Isolando
, obtemos
Mas
, logo chegamos ao resultado desejado.