Mostre que
\cos ^{-1} z=-i \ln \left(z \pm \sqrt{z^{2}-1}\right),
Sugestão: Expresse as funções trigonométrica e hiperbólica em termos de exponenciais.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para z complexo, vale
\cos^{-1}z \;=\;-\,i\,\ln\bigl(z\pm\sqrt{z^{2}-1}\bigr).
O conteúdo envolvido é a definição da função cosseno em termos de exponenciais e a inversão dessa relação para obter a arcocosseno.

Passo 2

Se definirmos
w = \cos^{-1}z,
então por definição
\cos w = z.
Como sabemos que
\cos w = \frac{e^{i w}+e^{-i w}}{2},
podemos escrever
\frac{e^{i w}+e^{-i w}}{2} = z.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por 2 e em seguida por e^{i w}, obtemos
e^{2i w} + 1 = 2\,z\,e^{i w}.
Isso é uma equação quadrática em e^{i w}:
\bigl(e^{i w}\bigr)^{2} \;-\;2\,z\,e^{i w}\;+\;1 \;=\;0.

Passo 4

Aplicando a fórmula de Bhaskara para resolver em e^{i w}, temos
e^{i w} = \frac{2z \pm \sqrt{(2z)^{2}-4\cdot1\cdot1}}{2} = z \pm \sqrt{z^{2}-1}.

Passo 5

Como e^{i w} = z \pm \sqrt{z^{2}-1}, basta tirar logaritmo:
i\,w = \ln\bigl(z\pm\sqrt{z^{2}-1}\bigr).
Isolando w, obtemos
w = -\,i\,\ln\bigl(z\pm\sqrt{z^{2}-1}\bigr).
Mas w=\cos^{-1}z, logo chegamos ao resultado desejado.

Resposta

\displaystyle \cos^{-1}z = -\,i\,\ln\bigl(z\pm\sqrt{z^{2}-1}\bigr).

Exercícios relacionados