Usando as identidades
\cos z=\frac{e^{i z}+e^{-i z}}{2}, \quad \operatorname{sen} z=\frac{e^{i z}-e^{-i z}}{2 i}
estabelecidas por comparação de séries de potências, mostre que
(b) |\operatorname{sen} z|^{2}=\operatorname{sen}^{2} x+\operatorname{senh}^{2} y, \quad|\cos z|^{2}=\cos ^{2} x+\operatorname{senh}^{2} y.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, para z=x+i y, que
|\sin z|^{2}=\sin^{2}x+\operatorname{sinh}^{2}y, \qquad |\cos z|^{2}=\cos^{2}x+\operatorname{sinh}^{2}y.
Usaremos as definições
\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}, \quad \cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}
e a fórmula de Euler para expressar e^{i z} e e^{-i z}.

Passo 2

Calculamos primeiro \sin z. Como
e^{i z}=e^{i(x+iy)}=e^{-y}(\cos x+i\sin x), \quad e^{-i z}=e^{y}(\cos x-i\sin x),
temos
e^{iz}-e^{-iz} =\bigl(e^{-y}-e^{y}\bigr)\cos x +i\bigl(e^{-y}+e^{y}\bigr)\sin x.
Dividindo por 2i,
\sin z =\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} =\frac{e^{-y}+e^{y}}{2}\,\sin x +i\,\frac{e^{y}-e^{-y}}{2}\,\cos x =\operatorname{cosh} y\,\sin x + i\,\operatorname{sinh} y\,\cos x.

Passo 3

O módulo ao quadrado de \sin z é
|\sin z|^{2} =(\operatorname{cosh} y\,\sin x)^{2}+(\operatorname{sinh} y\,\cos x)^{2} =\sin^{2}x\operatorname{cosh}^{2}y+\cos^{2}x\operatorname{sinh}^{2}y.
Usando \operatorname{cosh}^{2}y=1+\operatorname{sinh}^{2}y e \sin^{2}x+\cos^{2}x=1, obtemos
|\sin z|^{2} =\sin^{2}x\,(1+\operatorname{sinh}^{2}y)+\cos^{2}x\,\operatorname{sinh}^{2}y =\sin^{2}x + \operatorname{sinh}^{2}y.

Passo 4

Agora calculamos \cos z. Partindo das mesmas exponenciais,
e^{iz}+e^{-iz} =\bigl(e^{-y}+e^{y}\bigr)\cos x +i\bigl(e^{-y}-e^{y}\bigr)\sin x,
logo
\cos z =\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} =\frac{e^{-y}+e^{y}}{2}\,\cos x -i\,\frac{e^{y}-e^{-y}}{2}\,\sin x =\operatorname{cosh} y\,\cos x - i\,\operatorname{sinh} y\,\sin x.

Passo 5

O módulo ao quadrado de \cos z é
|\cos z|^{2} =(\operatorname{cosh} y\,\cos x)^{2}+(\operatorname{sinh} y\,\sin x)^{2} =\cos^{2}x\operatorname{cosh}^{2}y+\sin^{2}x\operatorname{sinh}^{2}y.
Usando de novo \operatorname{cosh}^{2}y=1+\operatorname{sinh}^{2}y e \sin^{2}x+\cos^{2}x=1, segue
|\cos z|^{2} =\cos^{2}x\,(1+\operatorname{sinh}^{2}y)+\sin^{2}x\,\operatorname{sinh}^{2}y =\cos^{2}x + \operatorname{sinh}^{2}y.

Resposta

|\sin z|^{2}=\sin^{2}x+\operatorname{sinh}^{2}y
|\cos z|^{2}=\cos^{2}x+\operatorname{sinh}^{2}y

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