Mostre que
\operatorname{sen}^{-1} z=-i \ln \left(i z \pm \sqrt{1-z^{2}}\right),
Sugestão: Expresse as funções trigonométrica e hiperbólica em termos de exponenciais.

Passo 1

O enunciado pede mostrar que, para z\in\mathbb{C},
\operatorname{sen}^{-1}z=-i\ln\bigl(i z\pm\sqrt{1-z^{2}}\bigr).
O conteúdo chave é usar a forma exponencial do seno,
\sin(w)=\frac{e^{i w}-e^{-i w}}{2\,i},
e então resolver a equação \sin(w)=z em w.

Passo 2

Partimos de
\sin(w)=z
e substituímos a forma exponencial:
\frac{e^{i w}-e^{-i w}}{2\,i}=z.
Multiplicando ambos os lados por 2\,i\,e^{i w} obtemos
e^{2\,i w}-1=2\,i\,z\,e^{i w},
ou seja,
e^{2\,i w}-2\,i\,z\,e^{i w}-1=0.

Passo 3

Essa é uma equação quadrática em u=e^{i w}:
u^{2}-2\,i\,z\,u-1=0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara para u resulta
u=e^{i w}=i\,z\pm\sqrt{1-z^{2}}.

Passo 4

Tendo e^{i w}=i\,z\pm\sqrt{1-z^{2}}, tomamos logaritmo em ambos os lados:
i\,w=\ln\bigl(i\,z\pm\sqrt{1-z^{2}}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad w=-\,i\,\ln\bigl(i\,z\pm\sqrt{1-z^{2}}\bigr).
Pela definição de inversa, w=\operatorname{sen}^{-1}z.

Resposta

\operatorname{sen}^{-1}z=-\,i\,\ln\!\bigl(i\,z\pm\sqrt{1-z^{2}}\bigr).

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