Determine todos os valores de
tais que:
Passo 1
O que o problema pede e o que nos dá.
- Pede: determinar todos os números complexos
tais que . - Informação dada: a equação
é válida no conjunto dos complexos.
Não vou resolver ainda; apenas anotei claramente o objetivo: achar todos os
que satisfazem essa igualdade.
Passo 2
Uma propriedade fundamental do exponencial complexo que vamos usar (e explicar).
Para um número complexo qualquer
escrevemos
com
. Então
O módulo de
é
. Logo,
implica
e portanto
, o que força
. Com
ficamos com
. Recordando a fórmula de Euler
, temos
exatamente quando
e
, ou seja quando
Portanto, conclusão útil:
Passo 3
Aplicando a propriedade ao nosso caso.
Aqui
. Pela Passo 2,
se, e somente se, existir
tal que
Portanto o problema virou: resolver a equação em
Passo 4
Resolver [z^{2}=2\pi i k) escrevendo
(método algébrico direto — passo a passo).
Se
com
, então
Comparando com
(que tem parte real zero e parte imaginária
), obtemos o sistema real
A primeira equação dá
. Vamos tratar as duas possibilidades.
-
Caso A:
. Substituindo em obtemos , isto é Para essa equação ter solução real é necessário. Se então e , isto é . Se então logo as soluções nesse caso são -
Caso B:
. Substituindo em obtemos , isto é Para ter solução real precisamos de, ou seja . Se novamente dá e . Se escreva com ; então e as soluções são
Observação: os casos
em A e B coincidem e produzem a solução única
.]
Passo 5
Escrever as soluções de forma organizada e também apresentar uma forma unificada em notação polar (opcional, para ver que são os mesmos pontos).
- Para
a única solução é . - Para
(escrevendo ) as soluções são Note que , então isso equivale a . - Para
(escrevendo com ) as soluções são que equivale a .
Uma forma unificada é: para todo
,
onde
é
se
,
se
e
se
(para
a fórmula dá
). Mas a forma com
é mais simples e explícita.