Determine todos os valores de z \in \mathrm{C} tais que:
e^{z^{2}}=1

Passo 1

O que o problema pede e o que nos dá.
  • Pede: determinar todos os números complexos z tais que e^{z^{2}}=1.
  • Informação dada: a equação e^{z^{2}}=1 é válida no conjunto dos complexos.
Não vou resolver ainda; apenas anotei claramente o objetivo: achar todos os z\in\mathbb{C} que satisfazem essa igualdade.

Passo 2

Uma propriedade fundamental do exponencial complexo que vamos usar (e explicar).
Para um número complexo qualquer w escrevemos w=u+iv com u,v\in\mathbb{R}. Então
e^{w}=e^{u+iv}=e^{u}e^{iv}.
O módulo de e^{w} é |e^{w}|=e^{u}. Logo, e^{w}=1 implica |e^{w}|=1 e portanto e^{u}=1, o que força u=0. Com u=0 ficamos com e^{iv}=1. Recordando a fórmula de Euler e^{iv}=\cos v + i\sin v, temos e^{iv}=1 exatamente quando \cos v=1 e \sin v=0, ou seja quando
v=2\pi k,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Portanto, conclusão útil:
e^{w}=1 \quad\Longleftrightarrow\quad w=2\pi i k \text{ para algum } k\in\mathbb{Z}.

Passo 3

Aplicando a propriedade ao nosso caso.
Aqui w=z^{2}. Pela Passo 2, e^{z^{2}}=1 se, e somente se, existir k\in\mathbb{Z} tal que
z^{2}=2\pi i k.
Portanto o problema virou: resolver a equação em \mathbb{C}
z^{2}=2\pi i k,\qquad k\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Resolver [z^{2}=2\pi i k) escrevendo z=x+iy (método algébrico direto — passo a passo).
Se z=x+iy com x,y\in\mathbb{R}, então
z^{2}=(x+iy)^{2}=x^{2}-y^{2}+2ixy.
Comparando com 2\pi i k (que tem parte real zero e parte imaginária 2\pi k), obtemos o sistema real
\begin{cases} x^{2}-y^{2}=0,\\[4pt] 2xy=2\pi k. \end{cases}
A primeira equação dá x^{2}=y^{2}\], ou seja \(y=\pm x. Vamos tratar as duas possibilidades.
  • Caso A: y=x. Substituindo em 2xy=2\pi k obtemos 2x^{2}=2\pi k, isto é
    x^{2}=\pi k.
    Para essa equação ter solução real é necessário k\ge 0. Se k=0 então x=0 e y=0, isto é z=0. Se k>0 então
    x=\pm\sqrt{\pi k},\qquad y=x=\pm\sqrt{\pi k},
    logo as soluções nesse caso são
    z=\pm\sqrt{\pi k}\,(1+i),\qquad k\in\mathbb{N}.
  • Caso B: y=-x. Substituindo em 2xy=2\pi k obtemos -2x^{2}=2\pi k, isto é
    x^{2}=-\pi k.
    Para ter solução real precisamos de -\pi k\ge 0, ou seja k\le 0. Se k=0 novamente dá x=0 e y=0. Se k<0 escreva k=-n com n\in\mathbb{N}; então
    x^{2}=\pi n,\qquad x=\pm\sqrt{\pi n},\qquad y=-x=\mp\sqrt{\pi n},
    e as soluções são
    z=\pm\sqrt{\pi n}\,(1-i),\qquad n\in\mathbb{N}.
Observação: os casos k=0 em A e B coincidem e produzem a solução única z=0.]

Passo 5

Escrever as soluções de forma organizada e também apresentar uma forma unificada em notação polar (opcional, para ver que são os mesmos pontos).
  • Para k=0 a única solução é z=0.
  • Para k>0 (escrevendo k=n\in\mathbb{N}) as soluções são z=\pm(1+i)\sqrt{\pi n}.Note que 1+i=\sqrt{2}\,e^{i\pi/4}, então isso equivale a z=\pm\sqrt{2\pi n}\,e^{i\pi/4}.
  • Para k<0 (escrevendo k=-n com n\in\mathbb{N}) as soluções são z=\pm(1-i)\sqrt{\pi n},que equivale a z=\pm\sqrt{2\pi n}\,e^{-i\pi/4}.
Uma forma unificada é: para todo k\in\mathbb{Z},
z=\pm\sqrt{2\pi|k|}\,e^{i\,\frac{\pi}{4}\operatorname{sgn}(k)},
onde \operatorname{sgn}(k) é 1 se k>0, -1 se k<0 e 0 se k=0 (para k=0 a fórmula dá z=0). Mas a forma com (1\pm i)\sqrt{\pi n} é mais simples e explícita.

Resposta

\displaystyle z=0
\displaystyle z=\pm(1+i)\sqrt{\pi n},\quad n\in\mathbb{N}
\displaystyle z=\pm(1-i)\sqrt{\pi n},\quad n\in\mathbb{N}

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