Mostre que cotg(2 x)=12(tgh(x)+cotgh(x)).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a identidade de funções hiperbólicas
coth(2x) = tfrac12l(tanh x + coth xr)
Vamos usar as definições
tanh x = dfracsinh xcosh x,
coth x = dfraccosh xsinh x,
e as fórmulas de ângulo duplo para sinh e cosh.

Passo 2

Escrevemos a definição de coth(2x) como quociente:
coth(2x) = cosh(2x)sinh(2x)

Passo 3

Aplicamos as fórmulas de ângulo duplo às funções hiperbólicas:
cosh(2x) = cosh^2 x + sinh^2 x
sinh(2x) = 2,sinh x,cosh x

Passo 4

Substituímos essas expressões em coth(2x):
coth(2x) = cosh^2 x + sinh^2 x2,sinh x,cosh x = cosh^2 x2,sinh x,cosh x ;+; sinh^2 x2,sinh x,cosh x

Passo 5

Cada termo se reconhece como definição de coth x e de tanh x:
cosh^2 x2,sinh x,cosh x = tfrac12,cosh xsinh x = tfrac12,coth x, sinh^2 x2,sinh x,cosh x = tfrac12,sinh xcosh x = tfrac12,tanh x
Somando-os, obtém-se
coth(2x) = tfrac12l(coth x + tanh xr),
que é exatamente o que se queria provar.

Resposta

coth(2x) = tfrac12l(tanh x + coth xr)

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