1. Um pentágono com um perímetro de 30 m deve ser construído unindo um triângulo equilátero a um retângulo. Encontre as dimensões do retângulo e do triângulo que irão maximizar a área do pentágono.

Passo 1

O enunciado pede para desenhar um pentágono formado por um retângulo de base b e altura h ao qual se encaixa, no topo, um triângulo equilátero de lado t. O perímetro externo é 30,m e queremos maximizar a área total (área do retângulo mais área do triângulo). Vamos usar cálculo de otimização com restrição de perímetro.

Passo 2

Como o triângulo fica “colado” ao topo do retângulo, temos b=t. O perímetro externo é a soma da base inferior do retângulo ( b), das duas laterais ( 2h) e dos dois lados não colados do triângulo ( 2t), ou seja,
b + 2h + 2t = 30
Substituindo b=t obtemos a restrição
3t + 2h = 30

Passo 3

A área total é
A = underbraceb ,hretângulo + underbraceraiz34,t^2triângulo = t,h + raiz34,t^2 ââ
Da restrição tiramos
h = 30 - 3t2
e substituímos em A:
A(t) = tcdot30 - 3t2 + raiz34,t^2 = 15t - 32t^2 + raiz34t^2 = 15t + -6 + raiz34,t^2

Passo 4

Para maximizar, igualamos a derivada a zero:
A'(t) = 15 + -6 + raiz32,t stackrel!=0 Longrightarrow t = -15cdot2-6 + raiz3 = 306 - raiz3 = 10,(6 + raiz3)11

Passo 5

Com esse t, encontramos
h = 30 - 3t2 = 30 - 3cdot10,(6 + raiz3)112 = 15,(5 - raiz3)11
Verifica-se que t<10 e h>0, e a segunda derivada é negativa, confirmando máximo.

Passo 6

Portanto as dimensões que maximizam a área são:
  • triângulo equilátero de lado
t = 10,(6 + raiz3)11,m,
  • retângulo de base
b = t = 10,(6 + raiz3)11,m
e altura
h = 15,(5 - raiz3)11,m

Resposta

Triângulo equilátero: lado t = 10,(6 + raiz3)11,m.
Retângulo: base b = dfrac10,(6 + raiz3)11,m e altura h = dfrac15,(5 - raiz3)11,m.

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