Mostre que o cubo de qualquer número par é da forma 8 k para algum k \in \mathbb{Z}, e que o cubo de um número ímpar é da forma 8 k+1 ou 8 k+7.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas coisas:
  1. Que, se n é par, então n^3 é da forma 8k para algum k\in\mathbb{Z}.
  2. Que, se n é ímpar, então n^3 é da forma 8k+1 ou 8k+7.
O conteúdo envolve aritmética modular e exemplos de paridade. Vamos testar um caso concreto para a parte ímpar.

Passo 2

Considere n=3, que é ímpar.
Calculemos
3^3 = 27.
Agora, vemos se 27 pode ser escrito como 8k+1 ou 8k+7.
Se fosse 8k+1, teríamos 27-1=26=8k, isto é, k=26/8, o que não é inteiro.
Se fosse 8k+7, teríamos 27-7=20=8k, isto é, k=20/8, também não inteiro.

Passo 3

O exemplo 3^3=27 mostra que não existe k\in\mathbb{Z} tal que 27=8k+1 nem 27=8k+7.

Resposta

Não há como provar a afirmação tal como está escrita, pois ela é falsa. O contraexemplo é n=3, que produz 3^3=27, não estando em nenhuma das formas 8k+1 ou 8k+7.

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