Mostre que o cubo de qualquer número par é da forma
para algum
, e que o cubo de um número ímpar é da forma
ou
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar duas coisas:
- Que, se
é par, então é da forma para algum . - Que, se
é ímpar, então é da forma ou .
O conteúdo envolve aritmética modular e exemplos de paridade. Vamos testar um caso concreto para a parte ímpar.
Passo 2
Considere
, que é ímpar.
Calculemos
Calculemos
Agora, vemos se
pode ser escrito como
ou
.
Se fosse , teríamos
, isto é,
, o que não é inteiro.
Se fosse , teríamos
, isto é,
, também não inteiro.
Se fosse
Se fosse
Passo 3
O exemplo
mostra que não existe
tal que
nem
.
Resposta
Não há como provar a afirmação tal como está escrita, pois ela é falsa. O contraexemplo é
, que produz
, não estando em nenhuma das formas
ou
.