Use o Algoritmo da Divisão para provar que todo número inteiro ao quadrado é da forma
ou
para algum inteiro
.
Passo 1
O que queremos provar é que, para todo inteiro
, o quadrado
pode ser escrito como
para algum inteiro
. O conteúdo usado será o Algoritmo da Divisão (divisão com resto) e o estudo dos restos quadrados módulo 5.
Passo 2
Pelo Algoritmo da Divisão, dado o inteiro
, existem inteiros únicos
e
tais que
com
.
Passo 3
Elevando ao quadrado as duas faces de
, obtemos
Logo, existe um inteiro
tal que
Passo 4
Basta agora ver quais valores
pode assumir quando
:
Portanto
só pode ser
,
ou
módulo 5.
Passo 5
Como
e
ou
, concluímos que
para algum inteiro
.
Resposta
Todo inteiro ao quadrado é da forma
,
ou
para algum inteiro
.