Use o Algoritmo da Divisão para provar que todo número inteiro ao quadrado é da forma 5 k, 5 k+1 ou 5 k+4 para algum inteiro k.

Passo 1

O que queremos provar é que, para todo inteiro n, o quadrado n^2 pode ser escrito como
n^2 = 5k,\quad\text{ou}\quad n^2 = 5k+1,\quad\text{ou}\quad n^2 = 5k+4
para algum inteiro k. O conteúdo usado será o Algoritmo da Divisão (divisão com resto) e o estudo dos restos quadrados módulo 5.

Passo 2

Pelo Algoritmo da Divisão, dado o inteiro n, existem inteiros únicos q e r tais que
n = 5q + r
com r\in\{0,1,2,3,4\}.

Passo 3

Elevando ao quadrado as duas faces de n = 5q + r, obtemos
n^2 = (5q + r)^2 = 25q^2 + 10qr + r^2 = 5\bigl(5q^2 + 2qr\bigr) + r^2.
Logo, existe um inteiro m = 5q^2 + 2qr tal que
n^2 = 5m + r^2.

Passo 4

Basta agora ver quais valores r^2 pode assumir quando r\in\{0,1,2,3,4\}:
\begin{aligned} r=0&\implies r^2=0\equiv 0\pmod5,\\\ r=1&\implies r^2=1\equiv 1\pmod5,\\\ r=2&\implies r^2=4\equiv 4\pmod5,\\\ r=3&\implies r^2=9\equiv 4\pmod5,\\\ r=4&\implies r^2=16\equiv 1\pmod5. \end{aligned}
Portanto r^2 só pode ser 0, 1 ou 4 módulo 5.

Passo 5

Como n^2 = 5m + r^2 e r^2\equiv 0,1 ou 4\pmod5, concluímos que
n^2 = 5k,\quad\text{ou}\quad n^2 = 5k + 1,\quad\text{ou}\quad n^2 = 5k + 4
para algum inteiro k.

Resposta

Todo inteiro ao quadrado é da forma 5k, 5k+1 ou 5k+4 para algum inteiro k.

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