Prove que o quadrado de qualquer número inteiro não pode ser da forma 4 k+2 para nenhum k \in \mathbb{Z}.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para qualquer inteiro n, não existe k\in\mathbb{Z} tal que
n^2 = 4k + 2.
O conteúdo que vamos usar é a classificação de inteiros em pares ou ímpares e a ideia de restos (resíduos) ao dividir por 4.

Passo 2

Qualquer inteiro n é ou par ou ímpar. Portanto, consideramos os dois casos:
  1. n é par;
  2. n é ímpar.

Passo 3

Caso n seja par, escrevemos n = 2m com m\in\mathbb{Z}. Então
n^2 = (2m)^2 = 4m^2.
Isso mostra que n^2 é múltiplo de 4, ou seja, n^2 = 4k_1 para algum k_1\in\mathbb{Z}. Logo nesse caso n^2 nunca é da forma 4k+2.

Passo 4

Caso n seja ímpar, escrevemos n = 2m + 1 com m\in\mathbb{Z}. Então
n^2 = (2m+1)^2 = 4m^2 + 4m + 1 = 4(m^2 + m) + 1.
Isto é, n^2 deixa resto 1 na divisão por 4, ou seja, n^2 = 4k_2 + 1 para algum k_2\in\mathbb{Z}. Novamente n^2 não pode ser 4k+2.

Passo 5

Nos dois casos possíveis ( n par ou ímpar), o quadrado n^2 é ou da forma 4k ou da forma 4k+1. Não há outra possibilidade de resto ao dividir por 4.

Resposta

Portanto, o quadrado de qualquer inteiro não pode ter a forma 4k+2.

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