Prove que o quadrado de qualquer número inteiro não pode ser da forma
para nenhum
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para qualquer inteiro
, não existe
tal que
O conteúdo que vamos usar é a classificação de inteiros em pares ou ímpares e a ideia de restos (resíduos) ao dividir por 4.
Passo 2
Qualquer inteiro
é ou par ou ímpar. Portanto, consideramos os dois casos:
-
é par; -
é ímpar.
Passo 3
Caso
seja par, escrevemos
com
. Então
Isso mostra que
é múltiplo de 4, ou seja,
para algum
. Logo nesse caso
nunca é da forma
.
Passo 4
Caso
seja ímpar, escrevemos
com
. Então
Isto é,
deixa resto 1 na divisão por 4, ou seja,
para algum
. Novamente
não pode ser
.
Passo 5
Nos dois casos possíveis (
par ou ímpar), o quadrado
é ou da forma
ou da forma
. Não há outra possibilidade de resto ao dividir por 4.
Resposta
Portanto, o quadrado de qualquer inteiro não pode ter a forma
.